Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESGRANRIO 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 14 — alternativa C.

A ideia por trás

Este é um problema de equação do primeiro grau com duas quantidades desconhecidas: o número de pessoas que pagaram o preço cheio e o número de estudantes que pagaram com desconto. A ideia é transformar as informações do enunciado em uma equação que relacione essas quantidades com o total arrecadado.

A arrecadação total é a soma do que cada grupo pagou: cada pessoa sem desconto contribui com o preço cheio, e cada pessoa com desconto contribui com o preço reduzido. Se chamarmos de x o número de pessoas sem desconto, o número de pessoas com desconto é o total menos x. A equação fica: preço_cheio × x + preço_com_desconto × (total − x) = arrecadação_total. Essa equação é linear em x, então podemos isolá-la para achar o valor de x.

Esta questão cobra exatamente essa montagem: primeiro calcular o preço com desconto, depois montar a equação da arrecadação e resolver para x. No final, ainda é preciso somar os algarismos do número encontrado, o que é uma pegadinha comum.

O que a questão dá

• preço do ingresso integral = R$ 45,00

• desconto para estudantes = 40%

• público pagante total = 106 pessoas

• arrecadação total = R$ 4.410,00

O que queremos: a soma dos algarismos do número de pessoas que pagaram sem desconto

Passo 1 — Calcular o preço com desconto

Antes de montar a equação, precisamos saber quanto cada estudante pagou. O desconto é de 40% sobre o preço cheio, então o estudante paga 60% do valor original. Calcular esse preço reduzido é o primeiro passo, pois ele entra na equação da arrecadação.

Por que esta fórmula: O preço com desconto é o preço cheio menos o desconto. O desconto é 40% do preço cheio, então o preço com desconto é 100% − 40% = 60% do preço cheio. Por isso multiplicamos o preço cheio por 0,60.

De onde vem cada valor: $P_{cheio}$ = enunciado: R$ 45,00 · $0{,}40$ = enunciado: 40% de desconto

$P_{desc}$ = R$ 27,00

Passo 2 — Montar a equação da arrecadação

Agora que sabemos os dois preços, podemos relacionar o número de pessoas de cada grupo com o total arrecadado. Chamamos de x o número de pessoas sem desconto; o restante, 106 − x, são os estudantes. A arrecadação é a soma do que cada grupo pagou.

Por que esta fórmula: Cada pessoa sem desconto paga R$ 45,00, então o total pago por elas é 45x. Cada estudante paga R$ 27,00, então o total pago por eles é 27(106 − x). A soma desses dois valores é a arrecadação total de R$ 4.410,00.

De onde vem cada valor: $45$ = passo 1: preço cheio · $x$ = definição: número de pessoas sem desconto (incógnita) · $27$ = passo 1: preço com desconto · $106 - x$ = definição: total de pessoas menos as sem desconto · $4410$ = enunciado: arrecadação total

Passo 3 — Resolver a equação para x

Com a equação montada, precisamos isolar x para descobrir quantas pessoas pagaram sem desconto. Isso é feito com operações algébricas: distribuir, combinar termos e isolar a incógnita.

Por que esta fórmula: A equação é linear, então resolvemos passo a passo: primeiro distribuímos o 27, depois juntamos os termos com x, subtraímos o termo constante e dividimos pelo coeficiente de x.

De onde vem cada valor: $45x$ = passo 2 · $2862$ = constante: 27 × 106 = 2862 · $-27x$ = constante: 27 × (-x) = -27x · $4410$ = passo 2

Passo 4 — Isolar x e achar o número de pessoas

Agora que temos 18x + 2862 = 4410, subtraímos 2862 dos dois lados e dividimos por 18 para obter x. Esse é o número de pessoas que pagaram sem desconto.

Por que esta fórmula: Para isolar x, fazemos operações inversas: subtraímos o termo constante e depois dividimos pelo coeficiente.

De onde vem cada valor: $4410$ = passo 3 · $2862$ = passo 3 · $18$ = constante: 45x − 27x = 18x

Passo 5 — Somar os algarismos do número encontrado

A questão não pede o número de pessoas em si, mas a soma dos algarismos desse número. Por isso, depois de achar x = 86, precisamos somar 8 + 6.

Por que esta fórmula: A soma dos algarismos de um número é a adição de cada dígito que o compõe. Para 86, os algarismos são 8 e 6.

De onde vem cada valor: $8$ = passo 4: algarismo das dezenas de 86 · $6$ = passo 4: algarismo das unidades de 86

Resposta: 14 — alternativa C