Questão de Matemática — Matemática Financeira — CESGRANRIO 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a X ≈ 112,3 mil reais — alternativa C.

A ideia por trás

Juros compostos são a forma de crescimento de uma dívida ou investimento em que os juros de cada período passam a render juros no período seguinte. Isso significa que o valor não cresce de forma linear, mas exponencial: a cada mês, o montante é multiplicado por (1 + i), onde i é a taxa. Por isso, um real hoje vale mais que um real amanhã, pois o real de hoje pode render juros.

Para comparar valores em datas diferentes, usamos o fator de capitalização (1 + i)^t, que leva um valor presente para o futuro, ou o fator de descapitalização 1/(1 + i)^t, que traz um valor futuro para o presente. A relação fundamental é: Valor Futuro = Valor Presente × (1 + i)^t. Se a taxa i aumenta, o fator cresce mais rápido; se o tempo t aumenta, o fator também cresce. Essa relação vale para qualquer fluxo de caixa, desde que a taxa seja constante.

Esta questão cobra a equivalência de capitais: todos os pagamentos devem ser trazidos para a mesma data (a do empréstimo) para que possam ser comparados. O valor do empréstimo na data 0 deve ser igual à soma dos valores presentes das três parcelas.

O que a questão dá

• empréstimo = 300 mil reais

• pagamento 1 = 100 mil reais após 1 mês

• pagamento 2 = 100 mil reais após 2 meses

• pagamento 3 = X (última parcela) após 3 meses

• taxa de juros = 2% ao mês

O que queremos: o valor da última parcela, em milhares de reais

Passo 1 — Calcular os fatores de descapitalização

Para comparar os pagamentos futuros com o empréstimo de hoje, precisamos trazê-los para a data 0. Cada pagamento deve ser dividido por (1 + i)^t, onde t é o número de meses até o pagamento. Isso é o princípio da equivalência de capitais.

Por que esta fórmula: O fator (1 + i)^t é o que transforma um valor presente em futuro; para o caminho inverso, usamos o inverso. Como a taxa é de 2% ao mês, i = 0,02.

De onde vem cada valor: $i$ = enunciado: 2% ao mês = 0,02 · $t$ = definição: número de meses até o pagamento, que é 1, 2 e 3

1,02; 1,0404; 1,061208

Passo 2 — Trazer as duas primeiras parcelas para a data zero

Com os fatores calculados, podemos descontar cada pagamento de 100 mil para saber quanto eles valem na data do empréstimo. Isso permite comparar com os 300 mil emprestados.

Por que esta fórmula: O valor presente de um pagamento futuro é o valor dividido pelo fator de capitalização: VP = VF / (1 + i)^t.

De onde vem cada valor: $VF$ = enunciado: 100 mil reais (cada parcela) · $(1 + i)^t$ = passo 1: 1,02 e 1,0404

Passo 3 — Montar a equação de equivalência

A soma dos valores presentes das três parcelas deve ser igual ao valor do empréstimo na data 0. Isso é a condição de equilíbrio financeiro: o que se recebe hoje deve ser pago, em valor presente, pelas parcelas futuras.

Por que esta fórmula: A equação de equivalência de capitais iguala o valor do empréstimo à soma dos valores presentes de todos os pagamentos.

De onde vem cada valor: $300$ = enunciado: empréstimo de 300 mil · $\frac{100}{1{,}02}$ = passo 2: valor presente da 1ª parcela · $\frac{100}{1{,}0404}$ = passo 2: valor presente da 2ª parcela · $\frac{X}{1{,}061208}$ = passo 1: fator para 3 meses, X é a incógnita

Passo 4 — Isolar a última parcela

A equação montada tem X como incógnita; precisamos isolá-la para descobrir seu valor. Isso é uma manipulação algébrica simples: subtrair a soma conhecida dos dois lados e depois multiplicar pelo fator.

Por que esta fórmula: Para isolar X, primeiro subtraímos 194,16 de ambos os lados, depois multiplicamos ambos os lados por 1,061208.

De onde vem cada valor: $300$ = enunciado: empréstimo · $194{,}16$ = passo 3: soma dos valores presentes das duas primeiras parcelas · $1{,}061208$ = passo 1: fator para 3 meses

Resposta: X ≈ 112,3 mil reais — alternativa C