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Questão de Matemática — Álgebra — CESGRANRIO 2024

MatemáticaÁlgebra
Código
cg021070
Banca
CESGRANRIO
Órgão
BNDES
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista - Ciência de Dados (Manhã)
A região R no plano xy é definida pelas condições x ≥ 0 e 4x³ - 3x ≤ y ≤ x.Qual é a área da região R?
  1. A1/4
  2. B1/2
  3. C3/4
  4. D1
  5. E2
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GabaritoD — 1

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a A área é 1 unidade de área — alternativa D.

A ideia por trás

A área entre duas curvas é a medida da região do plano que fica entre elas. Para calculá-la, integramos a diferença entre a função de cima e a de baixo, ao longo do intervalo onde uma está acima da outra. A unidade é a unidade de área do plano cartesiano.

A área entre f(x) (acima) e g(x) (abaixo) no intervalo [a, b] é dada por ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx. Essa integral soma as alturas verticais entre as curvas, multiplicadas por pequenos intervalos de x. Para isso, é preciso saber qual curva está por cima e quais são os limites de integração, que geralmente são os pontos de interseção.

Esta questão pede a área entre uma reta e uma cúbica, com a restrição x ≥ 0. Precisamos encontrar os pontos de interseção, decidir qual curva está acima no intervalo, e integrar a diferença.

O que a questão dá

  • condição: x ≥ 0

  • curva inferior: y = 4x³ - 3x

  • curva superior: y = x

O que queremos: a área da região R delimitada por essas curvas

Passo 1 — Encontrar os pontos de interseção

A área entre curvas só existe onde uma está acima da outra, e os limites dessa região são exatamente os pontos onde elas se cruzam. Por isso, o primeiro passo é igualar as duas funções para achar esses pontos.

Por que esta fórmula: Igualar y = x e y = 4x³ - 3x dá a equação x = 4x³ - 3x, que resolvemos para achar os x onde as curvas se encontram.

x=4x3−3xx = 4x^{3} - 3x

De onde vem cada valor: xx = enunciado: y = x · 4x3−3x4x^{3} - 3x = enunciado: y = 4x³ - 3x

x=4x3−3xx = 4x^{3} - 3x

x = 0, x = 1, x = -1

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar x = -1, mas como x ≥ 0, ele não entra no intervalo.

Passo 2 — Determinar qual curva está acima

A integral da área usa a diferença (curva de cima - curva de baixo). Se trocarmos a ordem, a área sai negativa. Precisamos testar um ponto dentro do intervalo [0, 1] para ver qual função é maior.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é um teste numérico. Escolhemos x = 0,5 e calculamos o valor de cada função para comparar.

y = x = 0,5 e y = 4(0,5)³ - 3(0,5) = -1, logo y = x está acima

NÃO CAIA NESSA!

Assumir que a curva cúbica está sempre acima, sem testar.

Passo 3 — Montar a integral da área

Com os limites e a ordem das curvas definidos, a área é a integral da diferença entre a função de cima e a de baixo, de x = 0 a x = 1.

Por que esta fórmula: A fórmula da área entre curvas é ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx, onde f é a de cima e g a de baixo. Aqui, f(x) = x e g(x) = 4x³ - 3x.

A=∫01[x−(4x3−3x)] dxA = \int_{0}^{1} [x - (4x^{3} - 3x)] \, dx

De onde vem cada valor: xx = passo 2: curva de cima · 4x3−3x4x^{3} - 3x = passo 2: curva de baixo · 0e10 e 1 = passo 1: pontos de interseção

A=∫01(4x−4x3) dxA = \int_{0}^{1} (4x - 4x^{3}) \, dx
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o sinal de menos, resultando em x - 4x³ + 3x = 4x - 4x³, que é o correto, mas se errar o sinal, a integral fica errada.

Passo 4 — Calcular a integral definida

Agora que temos a integral montada, precisamos resolvê-la para obter o valor numérico da área.

Por que esta fórmula: Integramos termo a termo: a integral de 4x é 2x², e a de -4x³ é -x⁴. Depois avaliamos de 0 a 1.

A=[2x2−x4]01A = \left[ 2x^{2} - x^{4} \right]_{0}^{1}

De onde vem cada valor: 2x22x^{2} = definição: integral de 4x · −x4-x^{4} = definição: integral de -4x³ · 0e10 e 1 = passo 1: limites

A=(2⋅12−14)−(2⋅02−04)=1A = (2 \cdot 1^{2} - 1^{4}) - (2 \cdot 0^{2} - 0^{4}) = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a integral de 4x³: a integral é x⁴, não 4x⁴/3.

Resposta: A área é 1 unidade de área — alternativa D

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