Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESGRANRIO 2024

Distância entre retas reversas no espaço

Gabarito: letra B. A distância entre as retas r₀ e r₁ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Isso porque as retas são reversas (não se intersectam e não são paralelas), e a distância mínima entre elas é calculada pela projeção do vetor que liga um ponto de cada reta sobre a direção perpendicular comum a ambas — o produto vetorial dos vetores diretores.

Para entender a distância entre retas no espaço, precisamos primeiro classificar as retas. Duas retas em R³ podem ser:

• Concorrentes: intersectam-se em um ponto.

• Paralelas: não se intersectam, mas têm a mesma direção (vetores diretores paralelos).

• Reversas: não se intersectam e não são paralelas — estão em planos diferentes.

A distância entre retas paralelas é a distância de um ponto de uma delas à outra. Já a distância entre retas reversas é a distância mínima entre qualquer ponto de uma e qualquer ponto da outra, que é medida ao longo de um segmento perpendicular a ambas.

Vamos identificar as retas do problema:

• r₀: passa por (0,0,0) e (1,1,1). Seu vetor diretor é $\vec{v_0} = (1,1,1) - (0,0,0) = (1,1,1)$.

• r₁: passa por (1,0,0) e (1,1,0). Seu vetor diretor é $\vec{v_1} = (1,1,0) - (1,0,0) = (0,1,0)$.

Os vetores diretores $\vec{v_0} = (1,1,1)$ e $\vec{v_1} = (0,1,0)$ não são paralelos (um não é múltiplo escalar do outro), então as retas não são paralelas. Elas também não se intersectam: para que houvesse interseção, precisaríamos de $t$ e $s$ tais que $(t,t,t) = (1, s, 0)$, o que daria $t=0$ e $t=1$ simultaneamente — impossível. Logo, são reversas.

A fórmula para a distância entre retas reversas com vetores diretores $\vec{v_0}$ e $\vec{v_1}$, passando por pontos $P_0$ e $P_1$, é:

Onde $\vec{P_1} - \vec{P_0}$ é o vetor que liga um ponto de r₀ a um ponto de r₁. Escolhendo $P_0 = (0,0,0)$ e $P_1 = (1,0,0)$, temos $\vec{P_1} - \vec{P_0} = (1,0,0)$.

Calculando o produto vetorial $\vec{v_0} \times \vec{v_1}$:

A norma desse vetor é $|\vec{v_0} \times \vec{v_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

O produto escalar é:

O módulo é $|-1| = 1$. Portanto:

A pegadinha desta questão é que muitos alunos tentam aplicar a fórmula de distância entre retas paralelas ou entre ponto e reta, sem perceber que as retas são reversas. A chave é identificar que os vetores diretores não são paralelos e que não há interseção.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{1}{2}$ não corresponde ao cálculo correto. Esse número poderia surgir de um erro ao calcular o produto vetorial ou ao simplificar a fração — por exemplo, esquecendo de racionalizar $\frac{1}{\sqrt{2}}$ e aproximando erroneamente. O cálculo correto resulta em $\frac{\sqrt{2}}{2}$, não em $\frac{1}{2}$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a distância é $\frac{\sqrt{2}}{2}$. O produto vetorial dos vetores diretores tem norma $\sqrt{2}$, e o módulo do produto escalar com o vetor que liga as retas é 1, resultando em $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ seria o resultado se o produto vetorial tivesse norma $\sqrt{3}$ e o numerador fosse 1. Isso aconteceria se os vetores diretores fossem, por exemplo, $(1,1,1)$ e $(1,1,-1)$, mas não é o caso aqui. O vetor $\vec{v_1} = (0,1,0)$ torna o produto vetorial com norma $\sqrt{2}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2 é muito maior que o resultado correto. Poderia surgir de um erro ao calcular a norma do produto vetorial como $\sqrt{4}$ ou de uma confusão com a distância entre os pontos (1,0,0) e (1,1,0), que é 1, ou entre (0,0,0) e (1,1,1), que é $\sqrt{3}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Esse valor poderia aparecer se o produto vetorial tivesse norma $\sqrt{5}$, o que não ocorre. É um distrator numérico sem relação com os vetores do problema.

Gabarito: letra B