Questão de Matemática — Matemática Financeira — CESGRANRIO 2024
Matemática›Matemática Financeira
Código
cg022072
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Casa da Moeda
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico de Segurança - Segurança Corporativa e Patrimonial / Prevenção e Combate a Incêndio
Um investimento bancário paga 1% a juros compostos a cada mês e cobra 10% de taxa sobre os rendimentos, uma única vez no dia do resgate.Aplicando-se R$ 20.000,00 nesse investimento, qual será o valor do resgate, em reais, após 3 meses?
A20.500,00
B20.460,60
C20.545,42
D20.560,40
E20.606,02
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GabaritoC — 20.545,42
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 20.545,42 — alternativa C.
A ideia por trás
Juros compostos são o regime em que os juros de cada mês entram no capital e passam a render juros no mês seguinte — é o 'juros sobre juros'. A taxa de 1% ao mês significa que, a cada mês, o valor aplicado cresce 1% sobre o que já existe, não sobre o valor inicial. O montante bruto é o total acumulado antes de qualquer desconto.
O montante bruto após t períodos é dado por M = C × (1 + i)^t, onde C é o capital inicial, i é a taxa por período e t é o número de períodos. Como a taxa é positiva, o montante cresce exponencialmente: quanto mais tempo, mais rápido o crescimento, porque os juros de um mês passam a render no seguinte. Aqui, o imposto de 10% incide apenas sobre os rendimentos (M − C), não sobre o capital, então o resgate líquido é M − 0,10 × (M − C).
Esta questão combina a fórmula do montante composto com a tributação sobre os juros. O passo crítico é calcular o montante bruto primeiro e só então aplicar o imposto sobre a diferença entre o montante e o capital inicial.
O que a questão dá
capital inicial = R$ 20.000,00
taxa de juros = 1% ao mês
período = 3 meses
taxa sobre rendimentos = 10%
O que queremos: o valor do resgate líquido após 3 meses
Passo 1 — Calcular o montante bruto após 3 meses
Precisamos saber quanto o investimento rendeu antes de descontar o imposto. Como os juros são compostos, o montante é o capital inicial multiplicado por (1 + taxa) elevado ao número de meses.
Por que esta fórmula: A fórmula do montante composto M = C × (1 + i)^t é a definição de juros compostos: cada mês o capital é multiplicado por (1 + i), e isso se repete t vezes.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 20.000,00 · = enunciado: 1% = 0,01 · = enunciado: 3 meses
= R$ 20.606,02
NÃO CAIA NESSA!
Usar juros simples: 20.000 × 0,01 × 3 = 600, esquecendo que os juros do mês anterior também rendem.
Passo 2 — Calcular os rendimentos (juros)
O imposto incide apenas sobre o que foi ganho, não sobre o capital. Os rendimentos são a diferença entre o montante bruto e o valor aplicado.
Por que esta fórmula: Rendimento é, por definição, o quanto o capital cresceu: montante final menos capital inicial.
De onde vem cada valor: = passo 1: R$ 20.606,02 · = enunciado: R$ 20.000,00
= R$ 606,02
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair o capital e aplicar o imposto sobre o montante total.
Passo 3 — Calcular o imposto sobre os rendimentos
A taxa de 10% é cobrada uma única vez sobre os juros. Precisamos saber quanto desse rendimento será retido.
Por que esta fórmula: Imposto é uma porcentagem do rendimento: 10% de J é 0,10 × J.
De onde vem cada valor: = enunciado: 10% · = passo 2: R$ 606,02
= R$ 60,60
NÃO CAIA NESSA!
Aplicar 10% sobre o montante bruto (20.606,02) em vez de sobre os rendimentos — daria R$ 2.060,60.
Passo 4 — Subtrair o imposto do montante bruto
O resgate é o que sobra depois de pagar o imposto. Como o imposto é descontado do montante bruto, subtraímos o valor calculado.
Por que esta fórmula: O valor líquido é o montante bruto menos o imposto retido.
De onde vem cada valor: = passo 1: R$ 20.606,02 · = passo 3: R$ 60,60
= R$ 20.545,42
NÃO CAIA NESSA!
Somar o imposto em vez de subtrair, ou arredondar o imposto para 60,00 e obter 20.546,02.