Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg022073

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 318,75 mL — alternativa A.

A ideia por trás

Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante, chamada razão. Aqui, as capacidades das peças formam uma PG de razão 2: 1,25; 2,5; 5; 10; 20; 40; 80; 160. Somar todos os termos de uma PG finita é o que a questão pede.

A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por S_n = a_1 · (q^n − 1) / (q − 1), onde a_1 é o primeiro termo, q é a razão e n é o número de termos. Essa fórmula evita somar termo a termo e é especialmente útil quando n é grande. Ela vale para qualquer PG com q ≠ 1.

Esta questão cobra exatamente a aplicação da fórmula da soma da PG: identificar a_1, q e n, e substituir na fórmula para obter o total.

O que a questão dá

menor peça = 1,25 mL
número de peças = 8
cada peça tem o dobro da capacidade da anterior

O que queremos: a capacidade total das 8 peças juntas

Passo 1 — Identificar os termos da progressão

Antes de somar, precisamos reconhecer que as capacidades formam uma sequência em que cada termo é o dobro do anterior. Isso caracteriza uma progressão geométrica, e a partir daí podemos usar a fórmula da soma em vez de somar manualmente.

a_1 = 1,25; q = 2; n = 8

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a razão com o número de termos, ou achar que a razão é 1,25.

Passo 2 — Aplicar a fórmula da soma da PG

Com a_1, q e n identificados, podemos calcular a soma total das 8 peças de uma vez, sem precisar somar termo a termo. A fórmula da soma da PG é a ferramenta certa para isso.

Por que esta fórmula: A fórmula S_n = a_1 · (q^n − 1) / (q − 1) é a que soma os n primeiros termos de uma progressão geométrica. Ela é usada porque a sequência é uma PG e queremos o total.

S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}

De onde vem cada valor: $a_1$ = passo 1: 1,25 · $q$ = passo 1: 2 · $n$ = passo 1: 8 · $q^n$ = constante: 2^8 = 256

S_8 = \frac{1{,}25 \cdot (2^{8} - 1)}{2 - 1} = \boxed{318{,}75\ \text{mL}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 2^7 em vez de 2^8, esquecendo que são 8 termos, ou errar a ordem das operações.

Resposta: 318,75 mL — alternativa A