GabaritoB — 1
Gabarito: letra B — a conta chega a A equação tem exatamente 1 solução real (x = log₂6) — alternativa B.
Uma equação exponencial é aquela em que a incógnita aparece no expoente. Aqui temos uma equação que parece ser do 2º grau, mas não é diretamente, porque a base 4 pode ser escrita como 2², e aí 4^x = (2²)^x = 2^(2x) = (2^x)². Isso é o que chamamos de equação exponencial redutível a uma equação do 2º grau.
O truque clássico é fazer uma substituição de variável: chamar 2^x de uma nova incógnita, digamos y. Assim, 4^x = (2^x)² = y² e 2^x = y. A equação original vira y² – 5y – 6 = 0, que é uma equação do 2º grau em y. Mas atenção: y = 2^x é sempre positivo para qualquer x real, pois a função exponencial com base maior que 1 nunca assume valores negativos ou zero. Portanto, ao resolver a equação do 2º grau, só as raízes positivas de y geram soluções reais em x.
Esta questão cobra exatamente essa restrição: resolver a equação do 2º grau auxiliar e depois verificar quais raízes são compatíveis com y = 2^x > 0. O número de soluções reais da equação original é o número de raízes positivas de y que, ao serem igualadas a 2^x, produzem um x real.
equação: 4^x – 5·2^x – 6 = 0
O que queremos: o número de soluções reais distintas da equação
Para transformar a equação exponencial em uma equação do 2º grau, precisamos que as potências tenham a mesma base. Como 4 = 2², temos 4^x = (2²)^x = 2^(2x) = (2^x)². Isso permite agrupar os termos em função de 2^x.
Por que esta fórmula: Usamos a propriedade das potências: (a^m)^n = a^(m·n). Aqui, (2²)^x = 2^(2x), e 2^(2x) = (2^x)².
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro termo da equação · = enunciado: segundo termo da equação
Esquecer que 4^x = (2^x)^2 e tentar resolver como se fosse 4^x = 2·2^x, o que não é verdade.
Com a base unificada, definimos uma nova variável y para simplificar a equação. Isso transforma a equação exponencial em uma equação do 2º grau, que sabemos resolver.
Por que esta fórmula: A substituição é o método padrão para equações do tipo a^(2x) + b·a^x + c = 0. Definimos y = a^x, então a^(2x) = y².
De onde vem cada valor: = enunciado: termo da equação original
Esquecer de substituir também o termo 4^x, que vira y².
Substituindo 4^x por y² e 2^x por y na equação original, obtemos uma equação polinomial do 2º grau, que é mais simples de resolver.
Por que esta fórmula: A equação original é 4^x – 5·2^x – 6 = 0. Com as substituições, vira y² – 5y – 6 = 0.
De onde vem cada valor: = passo 1 e 2: 4^x = (2^x)^2 = y^2 · = enunciado: -5·2^x = -5y · = enunciado: termo constante
Errar o sinal ao substituir, por exemplo, escrever y² + 5y - 6 = 0.
Precisamos encontrar os valores de y que satisfazem a equação. Como é uma equação do 2º grau, podemos usar a fórmula de Bhaskara ou soma e produto.
Por que esta fórmula: A equação y² – 5y – 6 = 0 tem soma das raízes igual a 5 e produto igual a –6. Os números que satisfazem são 6 e –1, pois 6 + (–1) = 5 e 6·(–1) = –6.
De onde vem cada valor: = passo 3: coeficiente de y na equação y^2 - 5y - 6 = 0 · = constante: quadrado de 5 · = constante: 4·1·6 (produto dos coeficientes) · = constante: 2·1 (dobro do coeficiente de y²)
y = 6 ou y = -1
Errar o cálculo do discriminante: 25 + 24 = 49, não 1.
Lembramos que y = 2^x, e a função exponencial 2^x é sempre positiva para qualquer x real. Portanto, y = –1 é impossível, pois não existe x tal que 2^x = –1.
Por que esta fórmula: A função exponencial com base maior que 1 tem imagem (0, +∞). Logo, y deve ser estritamente positivo.
De onde vem cada valor: = definição: função exponencial
Esquecer essa restrição e contar as duas raízes de y como soluções da equação original.
Com y = 6, voltamos à variável original x. Precisamos encontrar o valor de x que satisfaz 2^x = 6.
Por que esta fórmula: A definição de logaritmo: se a^b = c, então b = log_a c. Aqui, 2^x = 6 implica x = log₂6.
De onde vem cada valor: = definição: base da potência · = passo 4: valor de y obtido
Tentar resolver 2^x = 6 sem usar logaritmo, ou esquecer que log₂6 é um número real bem definido.
Resposta: A equação tem exatamente 1 solução real (x = log₂6) — alternativa B
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