Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESGRANRIO 2024

Geometria Espacial: construção de um cone a partir de um semicírculo

Gabarito: letra C (√75). Ao cortar o disco de 20 cm de diâmetro ao meio e colar os raios, cada semicírculo vira a superfície lateral de um cone. O raio do semicírculo (10 cm) torna-se a geratriz do cone, e o comprimento do arco do semicírculo (metade da circunferência original) torna-se o comprimento da circunferência da base do cone. Com a geratriz e o raio da base, aplica-se o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura: h = √(10² - 5²) = √75.

O problema explora a relação entre um setor circular e o cone que ele forma. Quando você "enrola" um setor circular para formar um cone, dois elementos se transformam: o raio do setor vira a geratriz do cone, e o comprimento do arco do setor vira o comprimento da circunferência da base do cone. Essa é a chave para resolver qualquer questão desse tipo.

Vamos aplicar isso ao caso concreto. O disco tem 20 cm de diâmetro, logo, raio de 10 cm. Ao cortar ao meio, cada metade é um semicírculo de raio 10 cm. O arco desse semicírculo tem comprimento igual à metade da circunferência completa: C = 2πr = 2π(10) = 20π cm, então o arco do semicírculo mede 10π cm.

Ao colar os raios OP e OQ, esse semicírculo se transforma na superfície lateral de um cone. A geratriz (g) do cone é o raio do semicírculo, ou seja, g = 10 cm. O comprimento da circunferência da base do cone (C_base) é o comprimento do arco do semicírculo, ou seja, C_base = 10π cm. Como C_base = 2πr_base, temos 2πr_base = 10π, logo r_base = 5 cm.

Agora, o cone formado tem geratriz g = 10 cm e raio da base r = 5 cm. A altura (h) do cone é perpendicular ao plano da base e forma um triângulo retângulo com a geratriz e o raio da base. Pelo Teorema de Pitágoras: g² = r² + h² → 10² = 5² + h² → 100 = 25 + h² → h² = 75 → h = √75 cm.

A pegadinha clássica dessa questão é confundir o raio do disco (10 cm) com o raio da base do cone. O raio do disco vira a geratriz, não o raio da base. O raio da base é menor, pois a circunferência da base é apenas metade da circunferência original. Guarde essa distinção: raio do setor = geratriz do cone e arco do setor = circunferência da base.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a altura é 5 cm. Esse valor corresponde ao raio da base do cone (r = 5 cm), não à altura. O candidato que erra aqui provavelmente confundiu o raio da base com a altura, sem aplicar o Teorema de Pitágoras.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a altura é 10 cm. Esse valor corresponde à geratriz do cone (g = 10 cm), que é o raio do semicírculo original. A altura é sempre menor que a geratriz, pois é um cateto do triângulo retângulo cuja hipotenusa é a geratriz.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A altura é √75 cm. Como calculado: g = 10 cm, r = 5 cm, então h = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 cm. A alternativa está correta porque aplica corretamente a relação entre geratriz, raio da base e altura do cone.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a altura é √125 cm. Esse valor seria obtido se o raio da base fosse 5 cm e a geratriz fosse √150 cm, o que não é o caso. Ou, se o candidato somasse 100 + 25 em vez de subtrair, obteria √125. O erro aqui é aplicar o Teorema de Pitágoras de forma incorreta, somando os quadrados dos catetos em vez de subtrair.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a altura é √150 cm. Esse valor não corresponde a nenhuma relação direta com os dados do problema. Se o candidato considerasse o raio da base como 10 cm (erro comum) e a geratriz como 10 cm, teria h = √(10² - 10²) = 0, o que não faz sentido. Ou, se somasse 100 + 50, obteria √150, mas 50 não é um valor presente no problema.

Gabarito: letra C