Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg022079

Logaritmos: mudança de base e a magnitude aparente

Gabarito: letra A. A expressão $5\log_{100}(b_0/b)$ equivale a $\frac{5}{2}\log_{10}(b_0/b)$ , pois, pela propriedade da mudança de base, $\log_{100}(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(100)} = \frac{\log_{10}(x)}{2}$ . Multiplicando por 5, obtemos $\frac{5}{2}\log_{10}(b_0/b)$ .

A questão cobra a aplicação direta da mudança de base de logaritmos. O logaritmo é o expoente ao qual se deve elevar uma base para obter um certo número: $\log_b a = x \iff b^x = a$ . Quando a base é 10, chamamos de logaritmo decimal, e a notação usual é simplesmente $\log$ (sem escrever a base). A fórmula de mudança de base permite converter um logaritmo de qualquer base para outra mais conveniente, geralmente a base 10 ou a base $e$ (logaritmo natural). A fórmula é:

\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}

No caso, temos a base 100. Como $100 = 10^2$ , podemos usar a propriedade do logaritmo de uma potência: $\log_{10}(100) = \log_{10}(10^2) = 2\log_{10}(10) = 2 \cdot 1 = 2$ . Portanto, ao mudar a base de 100 para 10, dividimos por 2. Aplicando isso à expressão original:

5\log_{100}\left(\frac{b_0}{b}\right) = 5 \cdot \frac{\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)}{\log_{10}(100)} = 5 \cdot \frac{\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)}{2} = \frac{5}{2}\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)

A pegadinha da banca está em não aplicar corretamente a mudança de base, esquecendo que $\log_{10}(100) = 2$ , e não 1. Alguns candidatos podem pensar que, como a base é 100, o logaritmo decimal de 100 é 1, mas isso está errado: $\log_{10}(100) = 2$ , pois $10^2 = 100$ . Outros podem errar ao multiplicar o 5 pelo resultado da mudança de base, obtendo $10\log_{10}(b_0/b)$ em vez de $\frac{5}{2}\log_{10}(b_0/b)$ .

1log₁₀(100) = 2
2Dividir por 2
35 × 1/2 = 5/2

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A está correta porque aplica corretamente a mudança de base. Como $\log_{10}(100) = 2$ , temos:

5\log_{100}\left(\frac{b_0}{b}\right) = 5 \cdot \frac{\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)}{2} = \frac{5}{2}\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)

Portanto, a expressão em termos do logaritmo decimal é $\frac{5}{2}\log_{10}(b_0/b)$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B sugere $\frac{15}{2}\log_{10}(b_0/b)$ . Esse valor não corresponde a nenhuma manipulação correta da expressão original. O erro provável é o candidato ter multiplicado o 5 por 3, talvez confundindo a base 100 com $10^3$ (o que seria incorreto, pois $100 = 10^2$ ). O correto é dividir por 2, não multiplicar por 3.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C sugere $10\log_{10}(b_0/b)$ . Esse valor seria obtido se o candidato esquecesse de dividir pelo logaritmo da base na mudança de base, ou seja, se simplesmente substituísse $\log_{100}$ por $\log_{10}$ sem ajustar. O correto é dividir por $\log_{10}(100) = 2$ , resultando em $\frac{5}{2}$ , não 10.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D sugere $20\log_{10}(b_0/b)$ . Esse valor seria obtido se o candidato multiplicasse o 5 por 4, talvez confundindo a base 100 com $10^4$ (o que seria incorreto, pois $100 = 10^2$ ). O correto é dividir por 2, não multiplicar por 4.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E sugere $50\log_{10}(b_0/b)$ . Esse valor seria obtido se o candidato multiplicasse o 5 por 10, talvez confundindo a base 100 com $10^{10}$ (o que seria incorreto, pois $100 = 10^2$ ). O correto é dividir por 2, não multiplicar por 10.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de mudança de base, lembre-se sempre de que $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ . No caso de bases que são potências de 10, como 100, 1000, etc., o logaritmo decimal da base é um número inteiro simples: $\log_{10}(100) = 2$ , $\log_{10}(1000) = 3$ , e assim por diante. Isso facilita o cálculo mental.

Gabarito: letra A