Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg022081

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 30 maneiras — alternativa C.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas diferentes podemos agrupar ou ordenar elementos. Aqui o foco são os princípios de contagem: o multiplicativo, usado quando as escolhas são simultâneas (precisamos de uma camisa E uma calça E um sapato), e o aditivo, usado quando as escolhas são alternativas (ou calça OU saia).

O princípio multiplicativo diz que, se uma decisão tem n opções e outra tem m, o total de combinações é n × m. O princípio aditivo diz que, se duas escolhas são mutuamente excludentes, o total é a soma. Neste problema, a restrição 'sem saia e calça ao mesmo tempo' transforma a escolha da parte de baixo em uma soma: 2 calças + 1 saia = 3 opções.

A questão exige aplicar o princípio aditivo para as partes de baixo e depois o multiplicativo para combinar com camisas e sapatos. O erro comum é tentar usar combinação simples, que não respeita a natureza das categorias.

O que a questão dá

5 camisas
2 calças
1 saia
2 pares de sapatos
restrição: não usar saia e calça ao mesmo tempo

O que queremos: o número de maneiras de escolher 3 peças (uma de cada tipo) respeitando a restrição

Passo 1 — Contar as opções de parte de baixo

A restrição 'sem saia e calça ao mesmo tempo' significa que o cliente escolhe ou uma calça ou a saia, nunca as duas. Como são escolhas alternativas, usamos o princípio aditivo: somamos as opções.

Por que esta fórmula: O princípio aditivo se aplica quando as escolhas são mutuamente excludentes. Aqui, calça e saia são alternativas, então o total é a soma.

opcoes_{parte\ de\ baixo} = 2 + 1

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: 2 calças · $1$ = enunciado: 1 saia

opcoes_{parte\ de\ baixo} = 2 + 1 = \boxed{3\ \text{op}çõ\text{es}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a restrição e contar 2 + 1 = 3, mas depois multiplicar por 5 e 2 sem perceber que já está certo; ou tentar usar combinação C(3,1) que daria 3, mas confundir o raciocínio.

Passo 2 — Multiplicar as escolhas independentes

Agora que sabemos que há 3 opções de parte de baixo, precisamos combinar com as camisas e os sapatos. Como o cliente precisa de uma peça de cada tipo, as escolhas são simultâneas, então usamos o princípio multiplicativo.

Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo se aplica quando as escolhas são independentes e todas devem ser feitas. Aqui, escolher camisa, parte de baixo e sapato são decisões simultâneas.

total = 5 \times 3 \times 2

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: 5 camisas · $3$ = passo 1: 3 opções de parte de baixo · $2$ = enunciado: 2 pares de sapatos

total = 5 \times 3 \times 2 = \boxed{30\ \text{maneiras}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelos sapatos e responder 15 (5×3), ou tentar usar combinação C(10,3) que daria 120, ignorando as categorias.

Resposta: 30 maneiras — alternativa C