Questão de Matemática — Funções — CESGRANRIO 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2 segundos — alternativa B.

A ideia por trás

A função quadrática descreve grandezas que variam com o quadrado do tempo, como a altura de um objeto lançado verticalmente. Ela tem a forma f(x) = ax² + bx + c, e seu gráfico é uma parábola. Quando o coeficiente a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo: o valor cresce até um máximo e depois decresce, como acontece com a altura da bola que sobe, para e cai.

Para saber quando a função ultrapassa um certo valor, montamos uma inequação. As raízes da equação f(x) = valor são os instantes em que a função cruza esse valor. Como a parábola tem concavidade para baixo, a função é maior que o valor entre as raízes e menor fora delas. O intervalo de tempo em que a condição vale é a diferença entre as duas raízes.

Esta questão pede exatamente isso: encontrar os dois instantes em que a altura é 77 m e calcular a duração do intervalo entre eles, onde a altura é maior que 77 m.

O que a questão dá

• velocidade inicial = 40 m/s

• altura inicial = 2 m

• função altura: h(t) = -5t² + 40t + 2

• altura de referência = 77 m

O que queremos: por quantos segundos a bola fica acima de 77 m

Passo 1 — Montar a inequação de altura maior que 77

Queremos saber quando a altura ultrapassa 77 m, então precisamos comparar a função com esse valor. Isso gera uma inequação do segundo grau, que é o passo inicial para achar o intervalo de tempo.

Por que esta fórmula: A condição 'acima de 77 m' se traduz matematicamente como h(t) > 77. Substituímos h(t) pela expressão dada.

De onde vem cada valor: $-5t^{2} + 40t + 2$ = enunciado: função altura · $77$ = enunciado: altura de referência

Passo 2 — Igualar a função a 77 para achar os instantes

Para saber o intervalo, primeiro precisamos dos instantes exatos em que a altura é 77 m. Esses são os limites do intervalo.

Por que esta fórmula: Igualar h(t) a 77 transforma a inequação em uma equação do segundo grau, que sabemos resolver.

De onde vem cada valor: $-5t^{2} + 40t + 2$ = passo 1 · $77$ = enunciado: altura de referência

Passo 3 — Simplificar a equação dividindo por -5

A equação tem coeficientes grandes e o termo de segundo grau negativo. Dividir por -5 simplifica os números e facilita a fatoração, além de deixar o termo t² positivo.

Por que esta fórmula: Dividir todos os termos por -5 mantém a igualdade e transforma -5t² em t², 40t em -8t e -75 em 15.

De onde vem cada valor: $t^{2}$ = passo 2: -5t² dividido por -5 · $-8t$ = passo 2: 40t dividido por -5 · $15$ = passo 2: -75 dividido por -5

Passo 4 — Fatorar a equação do segundo grau

Com a equação simplificada, procuramos dois números que somados dão -8 e multiplicados dão 15. Isso nos dá as raízes diretamente, sem precisar da fórmula de Bhaskara.

Por que esta fórmula: A fatoração (t - r1)(t - r2) = 0 é válida quando o coeficiente de t² é 1. As raízes são os valores que zeram cada fator.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 3: números que somam 8 e multiplicam 15 · $5$ = passo 3: números que somam 8 e multiplicam 15

Passo 5 — Obter as raízes da equação

Cada fator igualado a zero dá um instante em que a altura é exatamente 77 m. Esses são os limites do intervalo.

Por que esta fórmula: Se o produto é zero, um dos fatores deve ser zero. Então t - 3 = 0 ou t - 5 = 0.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 4: fator (t - 3) · $5$ = passo 4: fator (t - 5)

t = 3 s e t = 5 s

Passo 6 — Calcular a duração do intervalo

A pergunta é 'por quantos segundos', ou seja, a diferença entre o instante em que a bola sobe até 77 m e o instante em que desce abaixo dele. Como a parábola tem concavidade para baixo, a altura é maior que 77 m entre as raízes.

Por que esta fórmula: O intervalo de tempo é a diferença entre o maior e o menor instante: Δt = t₂ - t₁.

De onde vem cada valor: $5$ = passo 5: raiz maior · $3$ = passo 5: raiz menor

Resposta: 2 segundos — alternativa B