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Questão de Matemática — Probabilidade — CESGRANRIO 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
cg022083
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Casa da Moeda
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico de Segurança - Segurança Corporativa e Patrimonial / Prevenção e Combate a Incêndio
Um dado comum é um cubo com faces equiprováveis numeradas de 1 a 6. Um jogador lança simultaneamente 4 dados comuns: um vermelho e três brancos.Qual é a probabilidade de que o número sorteado no dado vermelho seja maior ou igual a cada um dos números sorteados nos dados brancos?
  1. A1/4
  2. B11/36
  3. C23/72
  4. D49/144
  5. E53/1296
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 49/144

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 49/144 — alternativa D.

A ideia por trás

Probabilidade é a medida de quão provável é um evento acontecer, calculada como a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Quando dois eventos são independentes — o resultado de um não influencia o outro — a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades de cada um.

Para um dado comum, cada face tem probabilidade 1/6. Se um dado branco deve mostrar um número menor ou igual a k, há k faces favoráveis entre 6, então a probabilidade é k/6. Como os três brancos são independentes, a probabilidade de todos satisfazerem a condição é (k/6)³. O dado vermelho também tem probabilidade 1/6 de mostrar cada valor k, então somamos as probabilidades de cada k possível.

Esta questão exige somar as probabilidades para cada valor possível do dado vermelho, usando a independência dos lançamentos para multiplicar as probabilidades dos dados brancos.

O que a questão dá

  • 4 dados comuns: 1 vermelho e 3 brancos

  • faces equiprováveis de 1 a 6

  • condição: número do vermelho ≥ número de cada branco

O que queremos: a probabilidade de o dado vermelho ser maior ou igual a cada um dos três dados brancos

Passo 1 — Calcular a probabilidade para o vermelho mostrar 1

Começamos pelo menor valor possível do dado vermelho. Se ele mostrar 1, para que seja maior ou igual aos brancos, cada branco deve mostrar 1 também. Como os lançamentos são independentes, multiplicamos as probabilidades.

Por que esta fórmula: Cada dado branco tem 1 face favorável (o número 1) entre 6, então a probabilidade de um branco ser ≤ 1 é 1/6. Para três brancos independentes, multiplicamos: (1/6)³.

P1=(16)3P_1 = \left(\frac{1}{6}\right)^{3}

De onde vem cada valor: 11 = definição: número de faces favoráveis (apenas a face 1) · 66 = enunciado: faces equiprováveis de 1 a 6 · 33 = enunciado: três dados brancos

P1=(16)3=1216=1 /216P_1 = \left(\frac{1}{6}\right)^{3} = \frac{1}{216} = \boxed{1\ /216}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que são três dados brancos e calcular (1/6)² = 1/36

Passo 2 — Calcular a probabilidade para o vermelho mostrar 2

Agora o vermelho pode mostrar 2. Para que os brancos sejam menores ou iguais a 2, cada um pode mostrar 1 ou 2, ou seja, 2 faces favoráveis em 6.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um branco ser ≤ 2 é 2/6 = 1/3. Como são três brancos independentes, multiplicamos: (2/6)³.

P2=(26)3P_2 = \left(\frac{2}{6}\right)^{3}

De onde vem cada valor: 22 = definição: número de faces favoráveis (1 e 2) · 66 = enunciado: faces equiprováveis de 1 a 6 · 33 = enunciado: três dados brancos

P2=(26)3=(13)3=127=1 /27P_2 = \left(\frac{2}{6}\right)^{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1}{27} = \boxed{1\ /27}
NÃO CAIA NESSA!

Usar (2/6)² em vez de (2/6)³, esquecendo o terceiro dado branco

Passo 3 — Calcular a probabilidade para o vermelho mostrar 3

Seguimos para o valor 3. Cada branco pode mostrar 1, 2 ou 3, totalizando 3 faces favoráveis em 6.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um branco ser ≤ 3 é 3/6 = 1/2. Para três brancos, multiplicamos: (3/6)³.

P3=(36)3P_3 = \left(\frac{3}{6}\right)^{3}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: três dados brancos · 66 = enunciado: faces equiprováveis de 1 a 6

P3=(36)3=(12)3=18=1 /8P_3 = \left(\frac{3}{6}\right)^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} = \boxed{1\ /8}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com a probabilidade de um único dado, que seria 1/2, e não elevar ao cubo

Passo 4 — Calcular a probabilidade para o vermelho mostrar 4

Agora o vermelho mostra 4. Cada branco pode mostrar 1, 2, 3 ou 4, ou seja, 4 faces favoráveis em 6.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um branco ser ≤ 4 é 4/6 = 2/3. Para três brancos, multiplicamos: (4/6)³.

P4=(46)3P_4 = \left(\frac{4}{6}\right)^{3}

De onde vem cada valor: 44 = definição: número de faces favoráveis (1, 2, 3 e 4) · 66 = enunciado: faces equiprováveis de 1 a 6 · 33 = enunciado: três dados brancos

P4=(46)3=(23)3=827=8 /27P_4 = \left(\frac{4}{6}\right)^{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27} = \boxed{8\ /27}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar 4/6 para 2/3 antes de elevar ao cubo, mas o resultado é o mesmo

Passo 5 — Calcular a probabilidade para o vermelho mostrar 5

O vermelho mostra 5. Cada branco pode mostrar 1, 2, 3, 4 ou 5, totalizando 5 faces favoráveis em 6.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um branco ser ≤ 5 é 5/6. Para três brancos, multiplicamos: (5/6)³.

P5=(56)3P_5 = \left(\frac{5}{6}\right)^{3}

De onde vem cada valor: 55 = definição: número de faces favoráveis (1 a 5) · 66 = enunciado: faces equiprováveis de 1 a 6 · 33 = enunciado: três dados brancos

P5=(56)3=125216=125 /216P_5 = \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{125}{216} = \boxed{125\ /216}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao cubo e usar 5/6 diretamente

Passo 6 — Calcular a probabilidade para o vermelho mostrar 6

Por fim, o vermelho mostra 6. Como é o maior valor, qualquer resultado nos brancos é aceitável, então a probabilidade de cada branco ser ≤ 6 é 1.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um branco ser ≤ 6 é 6/6 = 1. Para três brancos, multiplicamos: (6/6)³ = 1³ = 1.

P6=(66)3P_6 = \left(\frac{6}{6}\right)^{3}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: faces equiprováveis de 1 a 6 · 33 = enunciado: três dados brancos

P6=(66)3=13=1=1P_6 = \left(\frac{6}{6}\right)^{3} = 1^{3} = 1 = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a probabilidade é 1/6, confundindo com a probabilidade do próprio vermelho

Passo 7 — Somar as probabilidades de cada caso

Cada valor do dado vermelho tem probabilidade 1/6 de ocorrer. Como os casos são mutuamente exclusivos (o vermelho só mostra um número), somamos as probabilidades de cada caso, cada uma multiplicada por 1/6.

Por que esta fórmula: A probabilidade total é a média ponderada das probabilidades condicionais, com peso 1/6 para cada valor do vermelho. Somamos os produtos.

P=16(P1+P2+P3+P4+P5+P6)P = \frac{1}{6} \left( P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 + P_6 \right)

De onde vem cada valor: P1P_1 = passo 1: 1/216 · P2P_2 = passo 2: 1/27 · P3P_3 = passo 3: 1/8 · P4P_4 = passo 4: 8/27 · P5P_5 = passo 5: 125/216 · P6P_6 = passo 6: 1

P=16(1216+127+18+827+125216+1)=441 /1296P = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{216} + \frac{1}{27} + \frac{1}{8} + \frac{8}{27} + \frac{125}{216} + 1 \right) = \boxed{441\ /1296}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pela probabilidade do vermelho (1/6) e somar apenas as probabilidades condicionais

Passo 8 — Simplificar a fração final

A fração 441/1296 ainda pode ser simplificada. Dividimos numerador e denominador pelo máximo divisor comum, que é 9.

Por que esta fórmula: Para simplificar, dividimos ambos os termos pelo mesmo número. 441 ÷ 9 = 49 e 1296 ÷ 9 = 144.

P=441÷91296÷9P = \frac{441 \div 9}{1296 \div 9}

De onde vem cada valor: 441441 = passo 7: numerador · 12961296 = passo 7: denominador · 99 = definição: máximo divisor comum entre 441 e 1296

P=441÷91296÷9=49144=49 /144P = \frac{441 \div 9}{1296 \div 9} = \frac{49}{144} = \boxed{49\ /144}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar simplificar por 3 apenas, obtendo 147/432, que ainda não é a forma mais simples

Resposta: 49/144 — alternativa D

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