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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — CESGRANRIO 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
cg022084
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Casa da Moeda
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico de Segurança - Segurança Corporativa e Patrimonial / Prevenção e Combate a Incêndio
Considere um conjunto com 100 bolinhas distintas: uma de 1 g, uma de 2 g, uma de 3 g e assim por diante, até uma última de 100 g. Deseja-se selecionar três bolinhas, obrigatoriamente distintas, de modo que a soma de suas massas seja igual a 120 g.Quantos conjuntos de três bolinhas satisfazem a condição acima?
  1. A941
  2. B1060
  3. C1105
  4. D1317
  5. E2031
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GabaritoB — 1060

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6791 (não corresponde a nenhuma alternativa; verifique o enunciado ou o gabarito).

A ideia por trás

Análise combinatória é a arte de contar agrupamentos sem listar um a um. Aqui contamos combinações: escolher 3 bolinhas entre 100, sem importar a ordem. O número de combinações de n elementos tomados k a k é C(n,k) = n!/(k!(n-k)!).

Para contar triplas com soma fixa, usamos a técnica de transformar o problema em uma equação com variáveis positivas. Se a+b+c = 120 com a,b,c ≥ 1, o número de soluções é C(119,2). Mas isso inclui triplas com números repetidos, que não são permitidas porque as bolinhas são distintas. Por isso, subtraímos os casos com repetição.

Esta questão pede exatamente isso: contar as soluções de a+b+c = 120 com a,b,c distintos entre 1 e 100. Vamos primeiro contar todas as soluções positivas e depois excluir as que têm números iguais.

O que a questão dá

  • 100 bolinhas distintas, massas de 1 g a 100 g

  • selecionar 3 bolinhas distintas

  • soma das massas = 120 g

O que queremos: o número de conjuntos de 3 bolinhas que somam 120 g

Passo 1 — Contar todas as triplas positivas que somam 120

Precisamos de um ponto de partida. A equação a+b+c = 120 com a,b,c ≥ 1 conta todas as maneiras de escolher três números positivos que somam 120, sem nos preocuparmos com repetição ou limite superior. Isso é um problema clássico de 'barras e estrelas'.

Por que esta fórmula: O número de soluções inteiras positivas de x1+x2+...+xk = n é C(n-1, k-1). Aqui k=3 e n=120, então C(119,2).

Ntotal=C(119,2)N_{total} = C(119, 2)

De onde vem cada valor: 119119 = definição: n-1 = 120-1 · 22 = definição: k-1 = 3-1

Ntotal=119×1182=7021N_{total} = \frac{119 \times 118}{2} = \boxed{7021}
NÃO CAIA NESSA!

Usar C(120,3) em vez de C(119,2) — isso contaria soluções com zeros, que não são permitidas.

Passo 2 — Subtrair triplas com dois números iguais

As bolinhas são distintas, então não podemos ter dois números iguais. Precisamos remover do total as triplas onde a=b, a=c ou b=c. Como a equação é simétrica, contamos um caso e multiplicamos por 3? Cuidado: cada tripla com dois iguais é contada uma única vez na equação original, então subtraímos diretamente.

Por que esta fórmula: Se a=b, então 2a+c = 120. Para cada a de 1 a 59, c = 120-2a. Mas quando a=40, c=40, o que daria três iguais, então excluímos esse caso. Há 59 valores de a, mas um deles (a=40) é inválido, então 58.

Ndois iguais=59−1=58N_{dois\ iguais} = 59 - 1 = 58

De onde vem cada valor: 5959 = definição: a varia de 1 a 59, pois 2a < 120 · 11 = definição: o caso a=40, que gera c=40 (três iguais)

Ndois iguais=58=58N_{dois\ iguais} = 58 = \boxed{58}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de excluir o caso a=40, contando 59 em vez de 58.

Passo 3 — Subtrair a tripla com três números iguais

A tripla (40,40,40) foi contada no total, mas também foi excluída no passo anterior? Não, no passo anterior excluímos apenas os casos com exatamente dois iguais. Precisamos subtrair essa tripla separadamente, pois ela não é permitida.

Por que esta fórmula: Se a=b=c, então 3a=120, logo a=40. É uma única tripla.

Ntres iguais=1N_{tres\ iguais} = 1

De onde vem cada valor: 11 = definição: a=40

Ntres iguais=1=1N_{tres\ iguais} = 1 = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair essa tripla, ou subtraí-la duas vezes.

Passo 4 — Calcular o número de triplas com elementos distintos

Agora temos o total de soluções positivas e as que têm repetição. Subtraindo, obtemos as triplas com três números distintos, que é o que queremos.

Por que esta fórmula: N_distintas = N_total - N_dois_iguais - N_tres_iguais.

Ndistintas=Ntotal−Ndois iguais−Ntres iguaisN_{distintas} = N_{total} - N_{dois\ iguais} - N_{tres\ iguais}

De onde vem cada valor: NtotalN_{total} = passo 1: 7021 · Ndois iguaisN_{dois\ iguais} = passo 2: 58 · Ntres iguaisN_{tres\ iguais} = passo 3: 1

Ndistintas=7021−58−1=6962N_{distintas} = 7021 - 58 - 1 = \boxed{6962}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas os dois iguais e esquecer os três iguais, ou vice-versa.

Passo 5 — Verificar o limite superior de 100

As bolinhas vão até 100 g. Algumas triplas contadas podem ter um número maior que 100, o que não é permitido. Precisamos excluir essas.

Por que esta fórmula: Se a+b+c=120 e a,b,c ≥ 1, o maior valor possível é 118 (quando os outros dois são 1). Mas como as bolinhas vão até 100, precisamos excluir triplas onde algum número > 100. Isso só acontece se um número for 101 ou mais. Vamos contar essas.

N>100=∑a=101118(119−a)N_{>100} = \sum_{a=101}^{118} (119-a)

De onde vem cada valor: 101101 = definição: menor valor maior que 100 · 118118 = definição: maior valor possível, pois os outros dois são 1

N>100=(119−101)+(119−102)+...+(119−118)=18+17+...+1=18×192=171N_{>100} = (119-101)+(119-102)+...+(119-118) = 18+17+...+1 = \frac{18 \times 19}{2} = \boxed{171}
NÃO CAIA NESSA!

Contar a=119 ou 120, mas aí os outros dois seriam 0 ou negativos, o que não é permitido.

Passo 6 — Subtrair as triplas inválidas do total

Agora temos o número de triplas com elementos distintos e o número de triplas com algum número > 100. Subtraindo, obtemos o resultado final.

Por que esta fórmula: N_final = N_distintas - N_>100.

Nfinal=Ndistintas−N>100N_{final} = N_{distintas} - N_{>100}

De onde vem cada valor: NdistintasN_{distintas} = passo 4: 6962 · N>100N_{>100} = passo 5: 171

Nfinal=6962−171=6791N_{final} = 6962 - 171 = \boxed{6791}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair duas vezes ou esquecer de subtrair.

Resposta: 6791 (não corresponde a nenhuma alternativa; verifique o enunciado ou o gabarito)

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