Questão de Matemática — Matemática Financeira — CESGRANRIO 2024

Função quadrática aplicada à receita

Gabarito: letra E. A receita total é o produto entre o número de alunos e o valor da anuidade, ambos crescendo linearmente com o tempo: $R(x) = (300 + 40x)(5000 + 100x)$, que desenvolvida resulta em $R = 1.500.000 + 230.000x + 4.000x^2$.

O problema descreve uma situação em que duas grandezas variam linearmente com o tempo: o número de alunos e o valor da anuidade. A receita total, por ser o produto dessas duas grandezas, resulta em uma função quadrática. Vamos entender cada parte.

Número de alunos: hoje são 300 alunos, e a cada ano entram mais 40. Após $x$ anos, o número de alunos será $300 + 40x$.

Valor da anuidade: hoje é R$ 5.000,00, e a cada ano aumenta R$ 100,00. Após $x$ anos, a anuidade será $5000 + 100x$.

Receita total: é o produto do número de alunos pelo valor da anuidade. Portanto:

Aplicando a propriedade distributiva:

A função é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente $a = 4000 > 0$), o que significa que a receita cresce cada vez mais rápido com o passar dos anos, pois tanto o número de alunos quanto o valor da anuidade aumentam.

A pegadinha da questão está em não considerar o produto das duas variações. Muitos candidatos somam os aumentos (40 alunos + R$ 100,00) e chegam a um termo linear, ou multiplicam apenas um dos fatores, esquecendo que a receita é o produto de ambos. O termo $4.000x^2$ surge exatamente da multiplicação do aumento anual de alunos (40) pelo aumento anual da anuidade (100): $40 \cdot 100 = 4.000$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$R = 1500000 + 140x$ — Este é o erro clássico de somar os aumentos anuais (40 alunos + R$ 100,00 = 140) e tratar a receita como função linear. A receita é o produto do número de alunos pela anuidade, não a soma. O termo $140x$ não tem significado financeiro aqui.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$R = 1500000 + 4000x$ — Aqui o candidato multiplicou apenas o aumento de alunos (40) pelo valor inicial da anuidade (R$ 5.000,00), obtendo $40 \times 5000 = 200.000$, ou multiplicou o aumento da anuidade (100) pelo número inicial de alunos (300), obtendo $100 \times 300 = 30.000$. O valor $4.000$ não corresponde a nenhum produto direto dos dados; o correto seria $230.000x$ (a soma de $30.000x$ e $200.000x$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

$R = 5000 + 4000x + 30x^2$ — Esta alternativa ignora completamente o número de alunos. O termo $5000$ é apenas o valor da anuidade, sem multiplicar pelo número de alunos. O termo $30x^2$ não tem origem nos dados (seria $40 \times 100 = 4000$, não 30). A receita inicial correta é $300 \times 5000 = 1.500.000$, não $5000$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$R = 5000 + 230000x + 4000x^2$ — O termo quadrático e o termo linear estão corretos, mas o termo constante está errado. A receita inicial (quando $x = 0$) é $300 \times 5000 = 1.500.000$, não $5000$. O valor $5000$ é apenas a anuidade inicial, sem considerar os 300 alunos.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$R = 1500000 + 230000x + 4000x^2$ — Esta é a expressão correta. O termo constante $1.500.000$ é a receita atual ($300 \times 5000$). O termo linear $230.000x$ vem da soma de $30.000x$ (aumento de alunos vezes anuidade inicial: $40 \times 5000$) e $200.000x$ (aumento da anuidade vezes alunos iniciais: $100 \times 300$). O termo quadrático $4.000x^2$ vem do produto dos aumentos ($40 \times 100$).

Gabarito: letra E