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Questão de Matemática — Geometria Plana — CESGRANRIO 2024

MatemáticaGeometria Plana
Código
cg023023
Banca
CESGRANRIO
Órgão
UNEMAT
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico Administrativo do Ensino Superior
Na Figura, representa-se um setor circular cujo ângulo central é α.Imagem associada para resolução da questãoA área desse setor circular corresponderá a 2/3 da área do círculo quando α medir
  1. A120º
  2. B225º
  3. C230º
  4. D240º
  5. E270º
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 240º

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a α = 240° — alternativa D.

A ideia por trás

Um setor circular é uma 'fatia' de um círculo, limitada por dois raios e pelo arco entre eles. A área dessa fatia é proporcional ao ângulo central: quanto maior o ângulo, maior a fatia. Se o ângulo for 360°, a fatia é o círculo inteiro; se for 180°, é metade do círculo, e assim por diante.

A área de um setor circular de ângulo central α (em graus) é dada por A_setor = (α/360°) · πR², onde R é o raio do círculo. Isso porque a fração da área é exatamente a fração do ângulo em relação à volta completa. Dobrar o ângulo dobra a área do setor, e a relação é linear.

Esta questão pede para encontrar o ângulo que torna a área do setor igual a 2/3 da área do círculo. Como a área do setor é proporcional ao ângulo, basta igualar a fração do ângulo a 2/3 e resolver para α.

O que a questão dá

  • área do setor = 2/3 da área do círculo

  • ângulo central = α (em graus)

  • volta completa = 360°

O que queremos: o valor do ângulo central α que faz a área do setor ser 2/3 da área do círculo

Passo 1 — Escrever a fórmula da área do setor

Precisamos de uma expressão que relacione a área do setor com o ângulo central. A área de um setor é uma fração da área do círculo, e essa fração é exatamente a razão entre o ângulo central e 360°.

Por que esta fórmula: A área do círculo é πR². Como o setor é uma parte proporcional ao ângulo, multiplicamos a área total pela fração α/360°. Essa é a definição de setor circular.

Asetor=α360°⋅πR2A_{setor} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi R^{2}

De onde vem cada valor: α\alpha = enunciado: ângulo central (incógnita) · RR = definição: raio do círculo (não fornecido, mas se cancela) · π\pi = constante: π

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o ângulo deve estar em graus e usar radianos, o que daria um resultado errado.

Passo 2 — Igualar a área do setor a 2/3 da área do círculo

O enunciado impõe que a área do setor seja 2/3 da área do círculo. Isso nos dá uma equação para resolver.

Por que esta fórmula: A área do círculo é πR². Então 2/3 dessa área é (2/3)·πR². Igualamos a expressão do passo 1 a esse valor.

α360°⋅πR2=23⋅πR2\frac{\alpha}{360°} \cdot \pi R^{2} = \frac{2}{3} \cdot \pi R^{2}

De onde vem cada valor: α360°⋅πR2\frac{\alpha}{360°} \cdot \pi R^{2} = passo 1 · 23⋅πR2\frac{2}{3} \cdot \pi R^{2} = enunciado: área do setor = 2/3 da área do círculo

α360°⋅πR2=23⋅πR2\frac{\alpha}{360°} \cdot \pi R^{2} = \frac{2}{3} \cdot \pi R^{2}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar usar um valor numérico para R, mas ele se cancela; não é necessário.

Passo 3 — Cancelar o fator comum πR²

Como o raio é o mesmo para o setor e para o círculo, o fator πR² aparece dos dois lados da equação e pode ser simplificado, deixando apenas a relação entre ângulos.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por πR² é uma manipulação algébrica válida, pois πR² é diferente de zero.

α360°=23\frac{\alpha}{360°} = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: α360°\frac{\alpha}{360°} = passo 2, após cancelar πR² · 23\frac{2}{3} = passo 2, após cancelar πR²

α360°=23\frac{\alpha}{360°} = \frac{2}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar e tentar resolver com R, complicando a conta.

Passo 4 — Isolar o ângulo α

Agora temos uma equação simples de proporção. Para encontrar α, multiplicamos ambos os lados por 360°.

Por que esta fórmula: Multiplicar cruzado é uma forma de resolver a proporção: α = (2/3)·360°.

α=23⋅360°\alpha = \frac{2}{3} \cdot 360°

De onde vem cada valor: 23\frac{2}{3} = passo 3 · 360°360° = passo 3, denominador

α=23⋅360°=240 ∘\alpha = \frac{2}{3} \cdot 360° = \boxed{240\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração e calcular (3/2)·360° = 540°, que não está nas alternativas.

Resposta: α = 240° — alternativa D

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