Medidas de tendência central e dispersão: a relação entre mediana, média e desvio padrão
Gabarito: letra B. Se a mediana é menor que a média, a distribuição é assimétrica à direita (assimetria positiva), o que exige que os dados não sejam todos iguais. Desvio padrão nulo implica que todos os valores são idênticos, o que tornaria mediana = média = moda, contradizendo a condição do enunciado. Portanto, é impossível que tal distribuição tenha desvio padrão nulo.
A questão cobra a compreensão das medidas de tendência central (média, mediana, moda) e de dispersão (amplitude, variância, desvio padrão), e como elas se relacionam em uma distribuição assimétrica. Vamos analisar cada conceito.
Média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Mediana é o valor que ocupa a posição central quando os dados estão ordenados (para 50 dados, a média dos 25º e 26º valores). Moda é o valor que mais se repete. Amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor. Variância mede a dispersão dos dados em relação à média; desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
Quando a mediana é menor que a média, temos uma assimetria à direita (ou positiva): a cauda da distribuição se estende para valores maiores, puxando a média para cima. Nesse caso, a média é maior que a mediana, e a moda geralmente é menor que a mediana (embora possa variar).
A variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média. Se a variância é positiva, há dispersão; se é nula, todos os dados são iguais. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então desvio padrão nulo também implica dados todos iguais. A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor; se todos os dados são iguais, a amplitude é zero.
A moda é o valor que mais se repete. Em uma distribuição assimétrica à direita, a moda pode ser menor que a média, igual à média, ou até maior que a média, dependendo da configuração dos dados. Não há uma relação fixa entre moda e média em uma distribuição assimétrica.
A pegadinha desta questão é que o candidato pode pensar que, se a mediana é menor que a média, a moda também deve ser menor que a média. Mas isso não é verdade: a moda pode ser igual ou até maior que a média, dependendo da distribuição. O que é impossível é ter desvio padrão nulo, pois isso implicaria que todos os dados são iguais, o que tornaria mediana = média = moda, contradizendo a condição do enunciado.
Caso | Condição (mediana < média) | Desvio padrão nulo (todos os dados iguais) | Resultado |
|---|
1 | V | V | Contradição (mediana = média) |
2 | V | F | Consistente (assimetria à direita) |
3 | F | V | Consistente (dados idênticos) |
4 | F | F | Consistente (simetria ou assimetria à esquerda) |
Alternativa A — ❌ Incorreta
A amplitude positiva é possível. A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor. Se a distribuição é assimétrica à direita, há valores altos que puxam a média para cima, então a amplitude é positiva. Não há contradição com a condição mediana < média.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Desvio padrão nulo implica que todos os dados são iguais. Se todos os dados são iguais, a mediana, a média e a moda são todas iguais ao mesmo valor. Isso contradiz a condição do enunciado de que a mediana é menor que a média. Portanto, é impossível que a distribuição tenha desvio padrão nulo.
Alternativa C — ❌ Incorreta
A moda igual à média é possível. Em uma distribuição assimétrica à direita, a moda pode coincidir com a média, dependendo da configuração dos dados. Por exemplo, se a maioria dos dados está em torno de um valor baixo, mas há alguns valores muito altos, a moda pode ser igual à média. Não há contradição com a condição mediana < média.
Alternativa D — ❌ Incorreta
A moda maior que a média é possível. Em uma distribuição assimétrica à direita, a moda pode ser maior que a média, dependendo da configuração dos dados. Por exemplo, se a maioria dos dados está em torno de um valor alto, mas há alguns valores muito baixos, a moda pode ser maior que a média. Não há contradição com a condição mediana < média.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A variância positiva é possível. A variância mede a dispersão dos dados. Em uma distribuição assimétrica à direita, há dispersão, então a variância é positiva. Não há contradição com a condição mediana < média.
Conclusão: A única alternativa que é impossível é a letra B, pois desvio padrão nulo implicaria que todos os dados são iguais, o que tornaria mediana = média = moda, contradizendo a condição do enunciado.
Gabarito: letra B