Questão de Matemática — Estatística — CESGRANRIO 2024

Comparação de variabilidade entre variáveis de escalas diferentes

Gabarito: letra B. A variável "hora extra" variou mais, pois a comparação da variabilidade entre variáveis com unidades de medida distintas (salário em reais e horas extras em horas) só pode ser feita por uma medida relativa, o coeficiente de variação (CV = desvio padrão / média). A alternativa B é a correta porque, ao calcular o CV de cada variável, o da hora extra é maior que o do salário. A questão trata de um problema clássico em estatística descritiva: como comparar a dispersão de duas variáveis que estão em escalas diferentes. O salário é medido em reais (R$), enquanto a hora extra é medida em horas. Comparar os desvios padrão diretamente seria um erro, pois eles estão em unidades diferentes — um desvio de R$ 500,00 não é comparável a um desvio de 2 horas. Para resolver isso, usamos o coeficiente de variação (CV), que é uma medida de dispersão relativa, calculada como o desvio padrão dividido pela média. O CV é adimensional (não tem unidade), o que permite comparar a variabilidade de variáveis com escalas diferentes. A fórmula do coeficiente de variação é:

onde $s$ é o desvio padrão e $\bar{x}$ é a média. Quanto maior o CV, maior a variabilidade relativa da variável. Com esses dados, calculamos o CV de cada uma e comparamos. O gabarito indica que o CV da hora extra é maior que o do salário, ou seja, a hora extra variou mais em termos relativos. A pegadinha da questão está em tentar comparar os desvios padrão diretamente, sem considerar a escala. Muitos candidatos olham para os números e escolhem a alternativa que parece ter o maior desvio padrão, mas isso é incorreto. O desvio padrão é uma medida absoluta de dispersão, e só faz sentido comparar desvios padrão de variáveis que estão na mesma unidade de medida. Para variáveis em escalas diferentes, a única forma correta de comparar a variabilidade é pelo coeficiente de variação. Guarde o critério decisivo: para comparar a variabilidade de variáveis com unidades diferentes, use sempre o coeficiente de variação (CV). É exatamente nesse ponto que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a variável salário variou mais. Isso só seria verdade se o CV do salário fosse maior que o da hora extra, o que não é o caso segundo o gabarito. A banca tenta induzir o candidato a comparar os desvios padrão diretamente, mas isso é um erro conceitual, pois as variáveis estão em escalas diferentes.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A variável hora extra variou mais. Isso é verdade porque, ao calcular o coeficiente de variação (CV = desvio padrão / média) de cada variável, o CV da hora extra é maior que o do salário. O CV é a medida adequada para comparar a variabilidade de variáveis com unidades de medida diferentes, pois é adimensional.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a variação comparativa pode ser medida pelo desvio padrão. Isso é falso, pois o desvio padrão é uma medida absoluta de dispersão, expressa na mesma unidade da variável. Como salário e hora extra estão em unidades diferentes (R$ e horas), o desvio padrão não pode ser usado para compará-los diretamente. A medida correta é o coeficiente de variação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que as variáveis tiveram a mesma variação. Isso seria verdade apenas se os coeficientes de variação fossem iguais, o que não é o caso. A banca tenta confundir o candidato com a ideia de que, se os desvios padrão são iguais, a variação é a mesma, mas isso ignora a diferença de escala entre as variáveis.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que não é possível saber qual variável sofreu maior variação. Isso é falso, pois é possível sim, desde que se use a medida adequada: o coeficiente de variação. A banca tenta fazer o candidato acreditar que a comparação é impossível, mas ela é perfeitamente possível com o CV.

Gabarito: letra B