Raciocínio Lógico · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg023238

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 23,04% ≈ 23,0% — alternativa A.

A ideia por trás

A distribuição binomial descreve experimentos que se repetem um número fixo de vezes, cada repetição independente, e em cada uma só há dois resultados: sucesso ou fracasso. Aqui, cada morador é uma tentativa, e o sucesso é ter ar-condicionado do modelo antigo. A probabilidade de sucesso é a mesma para todos, e queremos saber a chance de obter exatamente um certo número de sucessos em um total de tentativas.

A fórmula da binomial é P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k), onde n é o número de tentativas, k é o número de sucessos desejados, p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa, e C(n,k) é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher quais tentativas serão sucesso. A fórmula combina três fatores: o número de combinações, a probabilidade de os k sucessos acontecerem, e a probabilidade de os (n-k) fracassos acontecerem. Ela vale quando as tentativas são independentes e a probabilidade p é constante.

Esta questão exige primeiro combinar duas probabilidades em cascata para achar a probabilidade de um morador ter ar antigo, e depois aplicar a fórmula binomial para 5 moradores com exatamente 2 sucessos.

O que a questão dá

probabilidade de ter ar-condicionado = 80% = 0,80
dos que têm, 75% têm modelo antigo = 0,75
número de moradores escolhidos = 5
número de sucessos desejados = 2

O que queremos: a probabilidade de exatamente 2 dos 5 moradores terem ar-condicionado do modelo antigo

Passo 1 — Calcular a chance de um morador ter ar antigo

Antes de usar a binomial, precisamos da probabilidade de sucesso para um único morador. O enunciado dá duas informações em sequência: 80% têm ar-condicionado, e entre esses, 75% têm o modelo antigo. Para saber a fração da população que tem ar antigo, multiplicamos as duas probabilidades, porque é uma condição em cascata: primeiro tem que ter ar, e depois ser antigo.

Por que esta fórmula: A probabilidade de dois eventos em sequência (ter ar E ser antigo) é o produto das probabilidades, quando a segunda é condicionada à primeira. Aqui, P(antigo) = P(ter ar) × P(antigo | ter ar).

p = 0{,}80 \times 0{,}75

De onde vem cada valor: $0{,}80$ = enunciado: probabilidade de ter ar-condicionado · $0{,}75$ = enunciado: probabilidade de ser antigo, dado que tem ar

p = 0{,}80 \times 0{,}75 = \boxed{0{,}60}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 0,75 diretamente como p, esquecendo de multiplicar por 0,80 — isso daria 75% em vez de 60%.

Passo 2 — Contar as combinações de 2 entre 5

A fórmula binomial precisa saber de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais 2 dos 5 moradores terão o ar antigo. Isso é o coeficiente binomial C(5,2).

Por que esta fórmula: O coeficiente binomial C(n,k) = n! / (k! (n-k)!) conta o número de combinações de k elementos entre n. Aqui, n=5 e k=2.

C(5{,}2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!}

De onde vem cada valor: $5$ = enunciado: número de moradores escolhidos · $2$ = enunciado: número de sucessos desejados

C(5{,}2) = \frac{5 \times 4}{2} = 10 = \boxed{10}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir combinação com permutação e usar 5×4 = 20, esquecendo de dividir por 2!.

Passo 3 — Calcular a chance dos 2 sucessos

Na binomial, precisamos da probabilidade de que exatamente os 2 moradores escolhidos tenham ar antigo. Como cada um tem probabilidade p de sucesso, e os eventos são independentes, multiplicamos p por ele mesmo k vezes.

Por que esta fórmula: A probabilidade de k sucessos independentes é p^k. Aqui, k=2 e p=0,60.

p^k = 0{,}60^{2}

De onde vem cada valor: $0{,}60$ = passo 1 · $2$ = enunciado: número de sucessos desejados

0{,}60^{2} = 0{,}36 = \boxed{0{,}36}

NÃO CAIA NESSA!

Elevar 0,60 a 5 em vez de 2, confundindo o número de sucessos com o total de moradores.

Passo 4 — Calcular a chance dos 3 fracassos

Se 2 moradores têm ar antigo, os outros 3 não têm. A probabilidade de um morador NÃO ter ar antigo é 1 - p, e como são 3 moradores independentes, multiplicamos essa probabilidade três vezes.

Por que esta fórmula: A probabilidade de (n-k) fracassos independentes é (1-p)^(n-k). Aqui, n-k = 3.

(1-p)^{n-k} = 0{,}40^{3}

De onde vem cada valor: $0{,}40$ = passo 1: 1 - 0,60 · $3$ = enunciado: 5 - 2

0{,}40^{3} = 0{,}064 = \boxed{0{,}064}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 0,60^3 em vez de 0,40^3, confundindo sucesso com fracasso.

Passo 5 — Multiplicar os três fatores

A fórmula binomial junta as combinações, a probabilidade dos sucessos e a probabilidade dos fracassos. Multiplicar os três dá a probabilidade de exatamente 2 sucessos em 5 tentativas.

Por que esta fórmula: P(X=2) = C(5,2) · p² · (1-p)³, que é a fórmula geral da binomial aplicada aos nossos valores.

P = 10 \times 0{,}36 \times 0{,}064

De onde vem cada valor: $10$ = passo 2 · $0{,}36$ = passo 3 · $0{,}064$ = passo 4

P = 10 \times 0{,}36 \times 0{,}064 = \boxed{0{,}2304}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelo coeficiente binomial, o que daria 0,02304 (2,3%) — uma pegadinha clássica.

Passo 6 — Transformar em porcentagem

As alternativas estão em porcentagem, então precisamos converter a probabilidade decimal para porcentagem, multiplicando por 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem = valor decimal × 100.

0{,}2304 \times 100

De onde vem cada valor: $0{,}2304$ = passo 5

0{,}2304 \times 100 = 23{,}04 = \boxed{23{,}04\ \%}

NÃO CAIA NESSA!

Deixar em decimal e marcar 0,23% — a banca espera a resposta em porcentagem.

Resposta: 23,04% ≈ 23,0% — alternativa A

Questão de Raciocínio Lógico — Probabilidade — CESGRANRIO 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular a chance de um morador ter ar antigo

Passo 2 — Contar as combinações de 2 entre 5

Passo 3 — Calcular a chance dos 2 sucessos

Passo 4 — Calcular a chance dos 3 fracassos

Passo 5 — Multiplicar os três fatores

Passo 6 — Transformar em porcentagem