Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESGRANRIO 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a A média mensal máxima nos próximos 8 meses é M_8 = (12 × M_máx − S_4) / 8. Com os valores do quadro, obtém-se o valor correspondente à alternativa D (570)..

A ideia por trás

A média aritmética é o valor que representa um conjunto: soma-se tudo e divide-se pela quantidade de elementos. Se em 4 meses houve um total de reclamações, a média mensal é a soma desses quatro dividida por 4 — é como se cada mês tivesse contribuído igualmente. Já a variação percentual compara dois valores: dizer que um número é 10% maior que outro significa que ele vale 110% do outro, ou seja, multiplica-se o segundo por 1,10.

A relação central é M₄ = 1,10 × M_máx, onde M₄ é a média dos 4 primeiros meses e M_máx é a meta mensal. Se M₄ é 10% maior que M_máx, então M₄ = 110% de M_máx, e para achar M_máx dividimos M₄ por 1,10. Depois, para o ano inteiro, a média anual é (S₄ + S₈)/12, e queremos que ela seja menor ou igual a M_máx. Isso impõe um limite para a soma dos próximos 8 meses, S₈.

Esta questão exige aplicar a definição de média duas vezes: primeiro para descobrir a meta mensal a partir dos 4 primeiros meses, depois para limitar a média dos 8 meses restantes. O cuidado está em não inverter o percentual.

O que a questão dá

• reclamações nos 4 primeiros meses: valores do quadro (não fornecidos no texto)

• média dos 4 primeiros meses é 10% maior que a média máxima

• ano tem 12 meses

O que queremos: a média mensal máxima nos próximos 8 meses para que a média anual não ultrapasse a meta

Passo 1 — Somar as reclamações dos 4 primeiros meses

Precisamos do total de reclamações de janeiro a abril para calcular a média mensal desse período. Somar é o primeiro passo porque a média é a soma dividida pela quantidade de meses.

Por que esta fórmula: A soma é a operação básica de adição dos valores do quadro.

De onde vem cada valor: $\text{valor do quadro (jan)}$ = enunciado: quadro, janeiro · $\text{valor do quadro (fev)}$ = enunciado: quadro, fevereiro · $\text{valor do quadro (mar)}$ = enunciado: quadro, março · $\text{valor do quadro (abr)}$ = enunciado: quadro, abril

$S_4$ = S_4 (total dos 4 primeiros meses)

Passo 2 — Calcular a média dos 4 primeiros meses

A média mensal desse período é o valor que será comparado com a meta. Dividimos a soma total por 4, que é o número de meses considerados.

Por que esta fórmula: A média aritmética é definida como a soma dos valores dividida pela quantidade de valores.

De onde vem cada valor: $S_4$ = passo 1 · $4$ = enunciado: quatro primeiros meses

$M_4$ = M_4 (média dos 4 primeiros meses)

Passo 3 — Descobrir a média mensal máxima

O enunciado diz que a média dos 4 primeiros meses é 10% maior que a meta. Para achar a meta, precisamos desfazer esse aumento: se M₄ = 1,10 × M_máx, então M_máx = M₄ / 1,10.

Por que esta fórmula: A relação percentual é M₄ = 1,10 × M_máx, pois '10% maior' significa multiplicar por 1,10. Isolando M_máx, dividimos por 1,10.

De onde vem cada valor: $M_4$ = passo 2 · $1{,}10$ = enunciado: 10% maior

$M_{máx}$ = M_máx (meta mensal)

Passo 4 — Calcular o total permitido para o ano

A meta é mensal, mas a condição é sobre a média anual. Para saber quantas reclamações podem ocorrer no ano inteiro sem estourar a meta, multiplicamos a meta mensal por 12 meses.

Por que esta fórmula: A média anual é a soma anual dividida por 12; para que ela seja no máximo M_máx, a soma anual deve ser no máximo 12 × M_máx.

De onde vem cada valor: $12$ = enunciado: 12 meses no ano · $M_{máx}$ = passo 3

$S_{ano}$ = S_ano (total máximo anual)

Passo 5 — Subtrair o que já foi registrado

Já temos o total permitido para o ano e o total dos 4 primeiros meses. O que sobra é o máximo que pode ocorrer nos próximos 8 meses.

Por que esta fórmula: A soma dos próximos 8 meses é o total anual menos o que já aconteceu: S₈ = S_ano − S₄.

De onde vem cada valor: $S_{ano}$ = passo 4 · $S_4$ = passo 1

$S_8$ = S_8 (soma máxima dos próximos 8 meses)

Passo 6 — Dividir pelo número de meses restantes

A pergunta é sobre a média mensal dos próximos 8 meses. Com a soma máxima desses meses, dividimos por 8 para obter a média mensal.

Por que esta fórmula: A média é a soma dividida pela quantidade de elementos; aqui, 8 meses.

De onde vem cada valor: $S_8$ = passo 5 · $8$ = enunciado: próximos 8 meses

$M_8$ = M_8 (média mensal máxima dos próximos 8 meses)

Resposta: A média mensal máxima nos próximos 8 meses é M_8 = (12 × M_máx − S_4) / 8. Com os valores do quadro, obtém-se o valor correspondente à alternativa D (570).