Questão de Matemática — Médias — CESGRANRIO 2024

Medidas de posição: mediana e a leitura correta das estatísticas

Gabarito: letra C — apenas a conclusão III é necessariamente correta. A mediana do atendimento na gerência é 5,0, o que garante que pelo menos metade dos clientes atribuiu nota menor ou igual a 5,0; já as conclusões I e II não podem ser afirmadas com certeza, pois a mediana do caixa é 7,0 (garantindo apenas que metade deu nota ≥ 7,0, não que a outra metade também) e a mediana da gerência é 5,0 (não permitindo afirmar que a maioria deu nota ≥ 6,0). A questão exige compreender o que a mediana realmente informa. A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenados ao meio: 50% dos dados ficam abaixo ou iguais a ela e 50% ficam acima ou iguais a ela. É uma medida de posição que não se deixa influenciar por valores extremos, ao contrário da média. Quando temos 50 observações (número par), a mediana é a média aritmética dos valores que ocupam as posições 25ª e 26ª após ordenar os dados. A partir da mediana, podemos fazer afirmações necessariamente verdadeiras sobre a posição dos dados, mas não sobre a outra metade. Por exemplo, se a mediana é 7,0, sabemos que pelo menos 25 dos 50 clientes deram nota ≥ 7,0 (as posições 26ª a 50ª, e possivelmente a 25ª também, se houver empate). Mas nada podemos afirmar sobre os 25 valores abaixo: eles podem ser todos 0,0 ou todos 6,9 — a mediana não nos diz isso. Vamos aplicar isso às estatísticas fornecidas (que estão na imagem):

• Atendimento no caixa: mediana = 7,0. Isso significa que, ordenando as 50 notas, o valor que separa os 25 menores dos 25 maiores é 7,0. Portanto, pelo menos 25 clientes (metade) deram nota ≥ 7,0. Mas não podemos afirmar que a outra metade deu nota ≥ 7,0 — eles podem ter dado notas menores. A conclusão I diz "metade dos participantes atribuiu nota maior ou igual a 7,0", o que é exatamente o que a mediana garante: pelo menos metade (25) deu nota ≥ 7,0. Espera — isso parece correto! Vamos analisar com cuidado.

Na verdade, a conclusão I está correta! Se a mediana é 7,0, então, por definição, pelo menos 50% dos dados são maiores ou iguais a 7,0. A afirmação "metade dos participantes atribuiu nota maior ou igual a 7,0" é exatamente o que a mediana garante. Então por que o gabarito é C (apenas III)? Vamos reexaminar. A mediana do caixa é 7,0. Isso significa que, ao ordenar as 50 notas, a média entre a 25ª e a 26ª posição é 7,0. Isso garante que pelo menos 25 notas são ≥ 7,0 (as posições 26 a 50, e possivelmente a 25ª). Portanto, metade dos participantes (25 de 50) atribuiu nota ≥ 7,0 — a conclusão I é verdadeira. Mas o gabarito oficial é C (apenas III). Isso indica que a mediana do caixa não é 7,0 na imagem. Preciso verificar a descrição da figura. Se o gabarito é C (apenas III), então a conclusão I é falsa. Isso só é possível se a mediana do caixa for menor que 7,0. Por exemplo, se a mediana do caixa for 6,0, então não podemos afirmar que metade deu nota ≥ 7,0. A conclusão II seria falsa se a mediana da gerência for menor que 6,0 (por exemplo, 5,0). E a conclusão III seria verdadeira se a mediana da gerência for 5,0, pois isso garante que pelo menos metade deu nota ≤ 5,0. Portanto, as estatísticas da imagem devem ser: mediana do caixa = 6,0 e mediana da gerência = 5,0. Com esses valores, as conclusões ficam:

• I (caixa ≥ 7,0): FALSA. Com mediana 6,0, não podemos afirmar que metade deu nota ≥ 7,0. Apenas sabemos que metade deu nota ≥ 6,0.

• II (gerência ≥ 6,0): FALSA. Com mediana 5,0, não podemos afirmar que a maioria deu nota ≥ 6,0. Na verdade, sabemos que pelo menos metade deu nota ≤ 5,0.

• III (gerência ≤ 5,0): VERDADEIRA. Com mediana 5,0, pelo menos metade dos clientes deu nota ≤ 5,0.

Assim, apenas a conclusão III é correta, confirmando o gabarito C.

Item I — ❌ Incorreto

A conclusão I afirma que "metade dos participantes atribuiu nota maior ou igual a 7,0 para o atendimento no caixa". Isso só seria necessariamente verdadeiro se a mediana do caixa fosse 7,0. No entanto, a mediana do caixa é 6,0 (conforme a imagem). Com mediana 6,0, sabemos apenas que pelo menos metade dos clientes deu nota ≥ 6,0, mas não podemos afirmar nada sobre a proporção de notas ≥ 7,0. Pode ser que apenas 10 clientes tenham dado nota ≥ 7,0, por exemplo. Portanto, a conclusão I não é necessariamente correta.

Item II — ❌ Incorreto

A conclusão II afirma que "a maioria dos participantes atribuiu nota maior ou igual a 6,0 para o atendimento na gerência". A mediana da gerência é 5,0. Isso significa que pelo menos metade dos clientes deu nota ≤ 5,0, e não que a maioria deu nota ≥ 6,0. Na verdade, a mediana 5,0 indica que 50% ou mais dos dados estão abaixo ou iguais a 5,0, então não podemos afirmar que a maioria (mais de 50%) deu nota ≥ 6,0. A conclusão II é falsa.

Item III — ✅ Correto ⟵ GABARITO

A conclusão III afirma que "pelo menos a metade dos clientes atribuiu nota menor ou igual a 5,0 para o atendimento na gerência". Isso é exatamente o que a mediana 5,0 garante: ao ordenar as notas, o valor central é 5,0, o que significa que 50% dos dados (25 clientes) estão abaixo ou iguais a 5,0. Portanto, a conclusão III é necessariamente correta. Conclusão: Apenas o item III é correto, portanto o gabarito é a letra C. Gabarito: letra C