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Questão de Matemática — Probabilidade — CESGRANRIO 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
cg023291
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Caixa
Ano
2024
Nível
Superior
Em um país, determinado órgão público de controle analisou os contratos realizados em 2023 em uma cidade. Um contrato pode ser considerado suspeito ou não suspeito. Após uma análise, o órgão identificou que 25% dos contratos eram suspeitos de alguma irregularidade. Dos contratos considerados suspeitos, após uma investigação mais apurada, concluiu-se que 80% eram de fato fraudulentos. Dos contratos não suspeitos, identificou-se que 90% realmente não apresentavam qualquer irregularidade, ou seja, não eram fraudulentos. Nesse contexto, considere que um contrato foi selecionado ao acaso, e constatou-se que era fraudulento.A probabilidade de esse contrato selecionado ser um contrato suspeito é de, aproximadamente,
  1. A20%
  2. B23%
  3. C65%
  4. D73%
  5. E82%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 73%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a Aproximadamente 73% — alternativa D.

A ideia por trás

Probabilidade condicional mede a chance de um evento acontecer quando já sabemos que outro ocorreu. A notação P(A|B) lê-se 'probabilidade de A dado B' e representa a fração dos casos em que B aconteceu nos quais A também acontece. Ela é calculada dividindo a probabilidade da interseção (A e B juntos) pela probabilidade do evento condicionante B.

A fórmula é P(A|B) = P(A∩B) / P(B). Quando queremos inverter a condição — saber P(S|F) a partir de P(F|S) — usamos o Teorema de Bayes, que combina essa definição com a lei da probabilidade total: P(S|F) = P(F|S)·P(S) / [P(F|S)·P(S) + P(F|¬S)·P(¬S)]. O denominador é a probabilidade total de F, somando as contribuições de todos os caminhos que levam a F.

Esta questão pede exatamente essa inversão: sabemos a chance de ser fraudulento entre os suspeitos, mas queremos a chance de ser suspeito entre os fraudulentos. Por isso precisamos montar o Teorema de Bayes, e não simplesmente usar 80%.

O que a questão dá

  • P(S) = 0,25 (probabilidade de um contrato ser suspeito)

  • P(F|S) = 0,80 (probabilidade de ser fraudulento, dado que é suspeito)

  • P(¬F|¬S) = 0,90 (probabilidade de não ser fraudulento, dado que não é suspeito)

O que queremos: a probabilidade de um contrato ser suspeito, sabendo que ele é fraudulento, ou seja, P(S|F)

Passo 1 — Calcular a probabilidade de ser fraudulento entre os não suspeitos

O Teorema de Bayes exige conhecer P(F|¬S), a chance de um contrato não suspeito ser fraudulento. O enunciado dá o complemento: 90% dos não suspeitos não são fraudulentos. Como cada contrato ou é fraudulento ou não, as duas probabilidades somam 1.

Por que esta fórmula: É a regra do complemento: P(F|¬S) = 1 - P(¬F|¬S).

P(F∣Sˉ)=1−P(Fˉ∣Sˉ)P(F|\bar{S}) = 1 - P(\bar{F}|\bar{S})

De onde vem cada valor: P(Fˉ∣Sˉ)P(\bar{F}|\bar{S}) = enunciado: 0,90

P(F∣Sˉ)=1−0,90=0,10P(F|\bar{S}) = 1 - 0{,}90 = \boxed{0{,}10}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 0,90 diretamente como P(F|¬S), esquecendo que é a probabilidade de NÃO ser fraudulento.

Passo 2 — Calcular a probabilidade total de um contrato ser fraudulento

Para aplicar Bayes, precisamos saber qual a chance global de um contrato ser fraudulento, considerando tanto os suspeitos quanto os não suspeitos. Isso é a lei da probabilidade total: somamos as contribuições de cada grupo.

Por que esta fórmula: P(F) = P(F|S)·P(S) + P(F|¬S)·P(¬S). Cada termo é a chance de estar naquele grupo vezes a chance de ser fraudulento dentro dele.

P(F)=P(F∣S)⋅P(S)+P(F∣Sˉ)⋅P(Sˉ)P(F) = P(F|S) \cdot P(S) + P(F|\bar{S}) \cdot P(\bar{S})

De onde vem cada valor: P(F∣S)P(F|S) = enunciado: 0,80 · P(S)P(S) = enunciado: 0,25 · P(F∣Sˉ)P(F|\bar{S}) = passo 1: 0,10 · P(Sˉ)P(\bar{S}) = enunciado: 1 - 0,25 = 0,75

P(F)=0,80×0,25+0,10×0,75=0,275P(F) = 0{,}80 \times 0{,}25 + 0{,}10 \times 0{,}75 = \boxed{0{,}275}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o segundo termo e usar apenas 0,20 como P(F).

Passo 3 — Aplicar o Teorema de Bayes

Agora temos todos os ingredientes: a chance de ser fraudulento dado que é suspeito, a chance de ser suspeito, e a chance total de ser fraudulento. O Teorema de Bayes inverte a condição, exatamente o que a pergunta pede.

Por que esta fórmula: P(S|F) = P(F|S)·P(S) / P(F). É a definição de probabilidade condicional rearranjada, usando o denominador calculado no passo anterior.

P(S∣F)=P(F∣S)⋅P(S)P(F)P(S|F) = \frac{P(F|S) \cdot P(S)}{P(F)}

De onde vem cada valor: P(F∣S)P(F|S) = enunciado: 0,80 · P(S)P(S) = enunciado: 0,25 · P(F)P(F) = passo 2: 0,275

P(S∣F)=0,80×0,250,275=0,7273P(S|F) = \frac{0{,}80 \times 0{,}25}{0{,}275} = \boxed{0{,}7273}
NÃO CAIA NESSA!

Responder 80% diretamente, confundindo P(F|S) com P(S|F).

Passo 4 — Converter a probabilidade em porcentagem

As alternativas estão em porcentagem, então precisamos transformar o decimal 0,7273 em percentual, multiplicando por 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem = valor decimal × 100.

porcentagem=0,7273×100\text{porcentagem} = 0{,}7273 \times 100

De onde vem cada valor: 0,72730{,}7273 = passo 3

porcentagem=0,7273×100=72,73 %\text{porcentagem} = 0{,}7273 \times 100 = \boxed{72{,}73\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100 e marcar 0,73%.

Resposta: Aproximadamente 73% — alternativa D

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