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Questão de Matemática — Probabilidade — CESGRANRIO 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
cg023292
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Caixa
Ano
2024
Nível
Superior
Em uma determinada cidade, a probabilidade de um morador, escolhido ao acaso, ter seguro de carro é de 80%. Em um determinado dia, cinco moradores são escolhidos ao acaso.A probabilidade de que exatamente 3 deles tenham seguro de carro é, aproximadamente,
  1. A51,2%
  2. B20,5%
  3. C10,2%
  4. D5,1%
  5. E2,1%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 20,5%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 20,48% ≈ 20,5% — alternativa B.

A ideia por trás

A distribuição binomial é o modelo para experimentos com apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), repetidos várias vezes de forma independente, com a mesma chance de sucesso em cada tentativa. Aqui, o sucesso é o morador ter seguro (80%) e o fracasso é não ter (20%).

A fórmula é P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k), onde C(n,k) é o número de maneiras de escolher k sucessos entre n tentativas. A probabilidade de uma sequência específica (como S-S-S-F-F) é p^k * q^(n-k), e multiplicamos pelo número de sequências possíveis. Se p aumenta, a probabilidade de muitos sucessos cresce; se n aumenta, o número de combinações cresce.

Esta questão pede exatamente 3 sucessos em 5 tentativas, então precisamos calcular a combinação C(5,3) e multiplicar pelas probabilidades de sucesso e fracasso elevadas às quantidades certas.

O que a questão dá

  • n = 5 moradores escolhidos

  • k = 3 moradores com seguro

  • p = 0,8 (probabilidade de ter seguro)

  • q = 0,2 (probabilidade de não ter seguro)

O que queremos: a probabilidade de exatamente 3 dos 5 moradores terem seguro de carro

Passo 1 — Calcular a combinação de 5 escolhendo 3

Precisamos saber de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais 3 dos 5 moradores têm seguro. Isso é uma combinação, porque a ordem não importa.

Por que esta fórmula: A combinação C(n,k) conta quantos grupos de k elementos podemos formar a partir de n, sem considerar a ordem. Usamos a fórmula do fatorial.

C5,3=5!3!×2!C_{5,3} = \frac{5!}{3! \times 2!}

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: 5 moradores · 33 = enunciado: exatamente 3 com seguro

C5,3=5×4×3!3!×2!=5×42=10=10C_{5,3} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir pelo fatorial de 2! e obter 60 em vez de 10.

Passo 2 — Calcular a probabilidade de 3 sucessos

A probabilidade de uma sequência específica com 3 sucessos e 2 fracassos é p^3 * q^2. Precisamos disso para multiplicar pela combinação.

Por que esta fórmula: Cada sucesso tem probabilidade p, cada fracasso tem probabilidade q, e como são independentes, multiplicamos as probabilidades.

p3×q2p^{3} \times q^{2}

De onde vem cada valor: pp = enunciado: 0,8 · qq = enunciado: 0,2

0,83×0,22=0,512×0,04=0,020480{,}8^{3} \times 0{,}2^{2} = 0{,}512 \times 0{,}04 = \boxed{0{,}02048}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar q ao quadrado e usar apenas 0,2, resultando em 0,1024.

Passo 3 — Multiplicar combinação pela probabilidade

A probabilidade de exatamente 3 sucessos é a soma das probabilidades de todas as sequências possíveis. Como todas têm a mesma probabilidade, multiplicamos a probabilidade de uma sequência pelo número de sequências.

Por que esta fórmula: A fórmula binomial combina a contagem de combinações com a probabilidade de cada sequência.

P(X=3)=C5,3×p3×q2P(X=3) = C_{5,3} \times p^{3} \times q^{2}

De onde vem cada valor: C5,3C_{5,3} = passo 1: 10 · p3×q2p^{3} \times q^{2} = passo 2: 0,02048

P=10×0,02048=0,2048P = 10 \times 0{,}02048 = \boxed{0{,}2048}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas p^3 = 0,512 e esquecer a combinação e o q^2, caindo na alternativa A.

Passo 4 — Converter para porcentagem

As alternativas estão em porcentagem, então precisamos transformar a probabilidade decimal em porcentagem.

Por que esta fórmula: Para converter decimal em porcentagem, multiplicamos por 100.

porcentagem=0,2048×100\text{porcentagem} = 0{,}2048 \times 100

De onde vem cada valor: 0,20480{,}2048 = passo 3

0,2048×100=20,48=20,48 %0{,}2048 \times 100 = 20{,}48 = \boxed{20{,}48\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100 e responder 0,2048%.

Resposta: 20,48% ≈ 20,5% — alternativa B

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