Matemática · CESGRANRIO · 2025 | Questão sqc-cg023456

Análise Combinatória: arranjo com restrição

Gabarito: letra D. O número de apostas em que o campeão do ano anterior não figura é dado por $T \cdot (T-1) - (T-1) = (T-1)(T-1) = T^2 - 2T + 1$ , mas a alternativa correta é $T^2 - 3T + 2$ , que corresponde a $(T-1)(T-2)$ . Vamos entender por quê.

O problema pede o número de pares ordenados (campeão, vice) em que o time campeão do ano anterior não participa. Isso significa que nenhum dos dois escolhidos pode ser esse time. Portanto, temos $T-1$ times disponíveis para o campeão e, após escolhê-lo, $T-2$ times disponíveis para o vice (excluindo o campeão do ano anterior e o próprio campeão escolhido). Pelo princípio multiplicativo, o total é $(T-1)(T-2) = T^2 - 3T + 2$ .

A pegadinha está em interpretar a restrição: muitos candidatos calculam o total de apostas sem restrição ( $T \cdot (T-1)$ ) e subtraem apenas os casos em que o campeão do ano anterior é o campeão, esquecendo de excluir também os casos em que ele é o vice. Vamos detalhar isso.

O que é um arranjo?

Quando escolhemos elementos de um conjunto e a ordem importa, estamos diante de um arranjo. No caso, escolher o campeão e o vice é um arranjo de $T$ times tomados 2 a 2, pois a aposta "W campeão, Y vice" é diferente de "Y campeão, W vice". O total de arranjos possíveis sem nenhuma restrição é:

A_{T,2} = T \cdot (T-1)

Isso porque temos $T$ opções para o campeão e, para cada uma, $T-1$ opções para o vice (não pode ser o mesmo time).

A restrição: o campeão do ano anterior não pode figurar

A restrição é que o time campeão do ano anterior (vamos chamá-lo de time $C$ ) não pode aparecer nem como campeão nem como vice. Então, para o campeão, temos $T-1$ opções (todos exceto $C$ ). Para o vice, temos $T-2$ opções: não pode ser $C$ e não pode ser o time já escolhido como campeão. Portanto:

\text{Apostas válidas} = (T-1) \cdot (T-2) = T^2 - 3T + 2

Por que as outras alternativas estão erradas?

A) $T^2 - T$ : Este é o total de arranjos sem restrição ( $T \cdot (T-1)$ ). Não exclui o time $C$ .
B) $T^2 - 1$ : Não corresponde a nenhuma contagem direta. Parece uma tentativa de subtrair 1 do total de pares ordenados com repetição ( $T^2$ ), mas não faz sentido aqui.
C) $(T^2 - T)/2$ : Este é o número de combinações de $T$ times tomados 2 a 2 (onde a ordem não importa), dividido por 2? Na verdade, $T^2 - T = T(T-1)$ , e dividir por 2 dá o número de pares não ordenados. Mas a ordem importa, então não é isso.
E) $(T^2 - 3T + 2)/2$ : Este seria o número de pares não ordenados de times que não incluem $C$ . Como a ordem importa, o correto é o dobro disso.

Exemplo numérico para fixar

Suponha $T = 4$ times: A, B, C (campeão do ano anterior) e D. As apostas válidas (sem C) são:

Campeão A: vice pode ser B ou D → 2 opções
Campeão B: vice pode ser A ou D → 2 opções
Campeão D: vice pode ser A ou B → 2 opções

Total: $3 \times 2 = 6$ apostas. Pela fórmula: $(4-1)(4-2) = 3 \times 2 = 6$ . Confere!

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre excluir o time C apenas do campeonato e excluí-lo de ambas as posições. Se o candidato subtrair apenas os casos em que C é campeão ( $T-1$ casos) do total ( $T(T-1)$ ), obtém $T(T-1) - (T-1) = (T-1)^2 = T^2 - 2T + 1$ , que não está nas alternativas. Isso força o candidato a perceber que C também não pode ser vice, levando a $(T-1)(T-2)$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca quer que você esqueça de excluir o time C da posição de vice. Muitos calculam $T(T-1) - (T-1) = (T-1)^2$ e não encontram a resposta, caindo em uma alternativa errada. A chave é: C não pode ocupar nenhuma das duas posições, então sobram $T-1$ opções para o campeão e $T-2$ para o vice.

Apostas sem o campeão anterior — só Campeão: T-1; só Vice: T-2; Campeão∩Vice: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

$T^2 - T = T(T-1)$ é o total de arranjos de $T$ times para campeão e vice sem nenhuma restrição. Não exclui o time campeão do ano anterior, então está errada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$T^2 - 1$ não corresponde a nenhuma contagem lógica. Parece uma tentativa de subtrair 1 do total de pares ordenados com repetição ( $T^2$ ), mas o problema não permite que o mesmo time seja campeão e vice, e a restrição é mais específica.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$(T^2 - T)/2 = T(T-1)/2$ é o número de combinações (pares não ordenados) de $T$ times. Como a ordem importa (campeão ≠ vice), o número de arranjos é o dobro. Além disso, não aplica a restrição de excluir o time C.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(T-1)(T-2) = T^2 - 3T + 2$ . Excluímos o time C de ambas as posições: $T-1$ opções para campeão e $T-2$ para vice. É exatamente o que o enunciado pede.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$(T^2 - 3T + 2)/2 = (T-1)(T-2)/2$ seria o número de pares não ordenados de times que não incluem C. Como a ordem importa, o correto é o dobro, ou seja, a alternativa D.

Gabarito: letra D