Questão de Matemática — Progressões — CESGRANRIO 2025

Progressão Geométrica: a propriedade do termo médio

Gabarito: letra D. Em uma progressão geométrica, o quadrado do termo central é igual ao produto dos termos equidistantes — ou seja, $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$. Como $a_2 = 4$, temos $a_1 \cdot a_3 = 4^2 = 16$.

A progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ($q$). Por exemplo, na sequência $(3, 6, 12, 24, \ldots)$, a razão é $q = 2$. Essa definição recursiva gera uma propriedade fundamental: se tomarmos três termos consecutivos $(a_1, a_2, a_3)$, a razão entre o segundo e o primeiro é igual à razão entre o terceiro e o segundo, ou seja, $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$. Multiplicando em cruz, obtemos $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$.

Essa relação é conhecida como a propriedade do termo médio da PG. Ela vale para quaisquer três termos consecutivos, não apenas os três primeiros. Por exemplo, na PG $(2, 4, 8, 16, \ldots)$, temos $4^2 = 2 \cdot 8$ e $8^2 = 4 \cdot 16$. Essa propriedade é extremamente útil para resolver problemas sem precisar calcular a razão explicitamente.

Na questão, o enunciado fornece diretamente o valor do segundo termo ($a_2 = 4$) e pede o produto $a_1 \cdot a_3$. Aplicando a propriedade, temos $a_1 \cdot a_3 = a_2^2 = 4^2 = 16$. Note que não precisamos saber o valor de $a_1$ nem de $a_3$ individualmente — o produto deles é determinado apenas pelo termo central. Isso é uma pegadinha clássica: o candidato pode tentar encontrar a razão ou os termos individuais, mas a propriedade resolve diretamente.

Vamos verificar com um exemplo concreto. Se $a_2 = 4$, podemos ter a PG $(2, 4, 8)$ com razão $q = 2$, onde $a_1 \cdot a_3 = 2 \cdot 8 = 16$. Ou a PG $(1, 4, 16)$ com razão $q = 4$, onde $a_1 \cdot a_3 = 1 \cdot 16 = 16$. Ou ainda a PG $(8, 4, 2)$ com razão $q = \frac{1}{2}$, onde $a_1 \cdot a_3 = 8 \cdot 2 = 16$. Em todos os casos, o produto é sempre 16, independentemente da razão. Isso confirma que a resposta não depende de $q$.

A propriedade do termo médio também se relaciona com a média geométrica: se $a_1$, $a_2$ e $a_3$ são positivos, então $a_2$ é a média geométrica de $a_1$ e $a_3$, pois $a_2 = \sqrt{a_1 \cdot a_3}$. Essa conexão é útil para lembrar a propriedade e também aparece em outros contextos, como em problemas de juros compostos ou crescimento exponencial.

Agora, vamos analisar cada alternativa, lembrando que o produto $a_1 \cdot a_3$ é sempre igual a $a_2^2$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 2 não corresponde a $a_2^2 = 16$. Esse número poderia ser a razão da PG em alguns casos (por exemplo, na PG $(2, 4, 8)$), mas não é o produto pedido. O candidato pode confundir o produto com a razão ou com o próprio termo $a_2$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 4 é exatamente o termo $a_2$, não o produto $a_1 \cdot a_3$. A banca coloca esse distrator para testar se o candidato lê com atenção o que está sendo pedido. O produto é o quadrado de $a_2$, ou seja, $4^2 = 16$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 8 poderia ser o dobro de $a_2$ ($2 \times 4$), mas não é o produto correto. Esse distrator pode atrair quem tenta fazer uma operação simples com o termo dado, sem aplicar a propriedade da PG.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Pela propriedade do termo médio da PG, $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$. Como $a_2 = 4$, temos $a_1 \cdot a_3 = 4^2 = 16$. A alternativa correta é a letra D.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 64 é o cubo de 4 ($4^3$), não o produto $a_1 \cdot a_3$. Esse distrator pode atrair quem confunde a propriedade da PG com outra relação, como $a_2^3$ ou $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3$.

Gabarito: letra D