Questão de Matemática — Logaritmos — CESGRANRIO 2025

Composição de funções: exponencial e logarítmica

Gabarito: letra A. A composição $f(g(x))$ resulta em $x$, pois a função exponencial de base 3 e o logaritmo na base 9 são funções inversas entre si, desde que ajustemos a base. Aplicando a definição de logaritmo, $g(x) = \log_9 x$ é o expoente ao qual devemos elevar 9 para obter $x$, ou seja, $9^{g(x)} = x$. Como $9 = 3^2$, temos $3^{2g(x)} = x$, e portanto $f(g(x)) = 3^{2 \cdot \log_9 x} = x$.

A questão explora a relação entre a função exponencial e a função logarítmica, que são funções inversas. Para entender por que a composição resulta em $x$, precisamos lembrar da definição de logaritmo: $\log_b a = c \iff b^c = a$. Isso significa que o logaritmo de $a$ na base $b$ é o expoente que devemos dar à base $b$ para obter $a$. No caso, $g(x) = \log_9 x$ é o expoente que devemos dar à base 9 para obter $x$, ou seja, $9^{g(x)} = x$.

A função $f$ é definida como $f(x) = 3^{2x}$. Observe que $3^{2x} = (3^2)^x = 9^x$. Portanto, a função $f$ também pode ser escrita como $f(x) = 9^x$. Agora, ao compor $f(g(x))$, substituímos $x$ por $g(x)$ na expressão de $f$: $f(g(x)) = 9^{g(x)}$. Mas sabemos que $9^{g(x)} = x$, pois $g(x)$ é o logaritmo de $x$ na base 9. Logo, $f(g(x)) = x$.

Uma forma alternativa de ver é usar a propriedade de que $a^{\log_a x} = x$ para qualquer base $a > 0$ e $a \neq 1$. Aqui, temos $f(g(x)) = 3^{2 \log_9 x}$. Podemos reescrever $2 \log_9 x$ como $\log_9 x^2$ (pela propriedade do logaritmo de uma potência). Então, $f(g(x)) = 3^{\log_9 x^2}$. Para usar a propriedade $a^{\log_a x} = x$, precisamos que a base da exponencial seja igual à base do logaritmo. Como $3 = 9^{1/2}$, temos $3^{\log_9 x^2} = (9^{1/2})^{\log_9 x^2} = 9^{(1/2) \log_9 x^2} = 9^{\log_9 (x^2)^{1/2}} = 9^{\log_9 x} = x$. Esse caminho é mais longo, mas mostra a importância de igualar as bases.

A pegadinha desta questão está em não perceber que $3^{2x} = 9^x$. Muitos alunos tentam aplicar diretamente a propriedade $a^{\log_a x} = x$ sem ajustar a base, o que os leva a um beco sem saída ou a respostas erradas como $x^2$ ou $\sqrt{x}$. A chave é reconhecer que a base da exponencial (3) pode ser escrita como a raiz quadrada da base do logaritmo (9), e que a composição de uma função com sua inversa resulta na identidade.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $f(g(x)) = 3^{2 \log_9 x} = 9^{\log_9 x} = x$. A composição da função exponencial de base 9 com o logaritmo de base 9 resulta na função identidade, pois são funções inversas. O termo-chave é que $3^{2x} = 9^x$, o que permite a simplificação direta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa sugere $x^2$. Isso ocorreria se a composição fosse $f(g(x)) = (3^{\log_9 x})^2$, mas a função $f$ é $3^{2x}$, não $(3^x)^2$ aplicado a $g(x)$. Na verdade, $f(g(x)) = 3^{2 \log_9 x} = 3^{\log_9 x^2}$, e não $3^{2 \log_3 x}$. A confusão surge ao trocar a base do logaritmo de 9 para 3 sem o devido ajuste no expoente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa sugere $x^2 / 2$. Esse valor não tem relação direta com a composição. Provavelmente, o aluno que marcou esta opção tentou aplicar alguma propriedade de logaritmo de forma incorreta, como dividir o expoente por 2 ao mudar a base, mas sem fundamento matemático. A composição correta não envolve divisão por 2.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa sugere $2x^2$. Esse valor seria obtido se houvesse um fator 2 multiplicando o resultado, o que não ocorre. A confusão pode vir de interpretar $3^{2x}$ como $2 \cdot 3^x$, o que é um erro comum, mas a composição com o logaritmo não gera esse fator.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa sugere $\sqrt{x}$. Esse valor seria obtido se a composição fosse $f(g(x)) = 3^{\log_9 x}$, sem o fator 2 no expoente. Nesse caso, $3^{\log_9 x} = 9^{(1/2) \log_9 x} = 9^{\log_9 x^{1/2}} = \sqrt{x}$. No entanto, a função $f$ tem o expoente $2x$, não apenas $x$, então o resultado é $x$, não $\sqrt{x}$.

A regra de ouro para questões de composição entre exponencial e logaritmo é: se as bases forem iguais, a composição resulta na identidade ($a^{\log_a x} = x$). Se as bases forem diferentes, ajuste uma delas usando as propriedades de potência e logaritmo antes de simplificar. Nesta questão, o ajuste é $3^{2x} = 9^x$, o que torna a composição trivial.

Gabarito: letra A