Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESGRANRIO 2026

Equação da reta a partir de equações paramétricas

Gabarito: letra B. A reta é dada pelas equações paramétricas $x = 2 + 3t$ e $y = 3 + 2t$; isolando o parâmetro $t$ em ambas e igualando, obtém-se a equação geral $2x - 3y + 5 = 0$, que é a alternativa B.

O problema apresenta um ponto que se move sobre uma reta, e suas coordenadas são dadas em função de um parâmetro real $t$. Isso é a definição de equações paramétricas da reta: um sistema que expressa $x$ e $y$ em função de uma terceira variável (o parâmetro). Para encontrar a equação geral (ou cartesiana) da reta, o método padrão é eliminar o parâmetro $t$, ou seja, expressar $t$ em função de $x$ e também em função de $y$, e então igualar as duas expressões.

Vamos aplicar o método:

1. Da equação $x = 2 + 3t$, isolamos $t$: $x - 2 = 3t \Rightarrow t = \frac{x - 2}{3}$.

2. Da equação $y = 3 + 2t$, isolamos $t$: $y - 3 = 2t \Rightarrow t = \frac{y - 3}{2}$.

3. Igualando as duas expressões de $t$: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 3}{2}$.

4. Multiplicando em cruz: $2(x - 2) = 3(y - 3)$.

5. Expandindo: $2x - 4 = 3y - 9$.

6. Passando tudo para o primeiro membro: $2x - 3y - 4 + 9 = 0 \Rightarrow 2x - 3y + 5 = 0$.

Essa é a equação geral da reta. Uma forma de conferir é verificar se um ponto da reta (obtido com um valor de $t$) satisfaz a equação. Por exemplo, com $t = 0$, temos o ponto $(2, 3)$. Substituindo na equação: $2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 + 5 = 4 - 9 + 5 = 0$. Confere!

A pegadinha clássica dessa questão é inverter os coeficientes: como $x$ cresce com coeficiente 3 e $y$ com coeficiente 2, o candidato pode montar a equação como $3x + 2y + c = 0$ (alternativa C) ou $3x - 2y + c = 0$ (alternativa D), esquecendo que, ao eliminar o parâmetro, os coeficientes de $x$ e $y$ na equação geral ficam cruzados (o coeficiente de $x$ vem do denominador da expressão de $y$, e vice-versa). Outra pegadinha é errar o sinal do termo independente ao fazer a transposição.

Guarde o critério decisivo: para passar de paramétricas para a equação geral, isole o parâmetro e iguale. É exatamente nesse passo que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $2x + 3y + 15 = 0$ tem os coeficientes de $x$ e $y$ com o mesmo sinal, o que indicaria uma reta com inclinação negativa. Mas a reta do enunciado tem inclinação positiva (pois $x$ e $y$ crescem juntos com $t$). Além disso, o termo independente $+15$ não corresponde a nenhum ponto da reta: substituindo o ponto $(2,3)$ (que pertence à reta), obtemos $2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 15 = 4 + 9 + 15 = 28 \neq 0$. O erro aqui é combinar os coeficientes com sinal trocado e um termo independente incorreto.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, eliminando o parâmetro $t$ das equações $x = 2 + 3t$ e $y = 3 + 2t$, obtemos exatamente $2x - 3y + 5 = 0$. Os coeficientes $2$ e $-3$ vêm do cruzamento: o $2$ é o coeficiente de $y$ na paramétrica (multiplicando $t$) e o $-3$ é o coeficiente de $x$ na paramétrica (multiplicando $t$), com o sinal negativo por causa da transposição. O termo independente $+5$ é o resultado de $-4 + 9$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $3x + 2y - 10 = 0$ usa os coeficientes $3$ e $2$ sem cruzar (o $3$ é o coeficiente de $x$ na paramétrica e o $2$ é o de $y$). Isso é a pegadinha clássica: o candidato monta a equação com os coeficientes na mesma ordem das paramétricas, mas o correto é invertê-los ao eliminar o parâmetro. Testando o ponto $(2,3)$: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 10 = 6 + 6 - 10 = 2 \neq 0$. Portanto, o ponto não pertence à reta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $3x - 2y - 5 = 0$ também usa os coeficientes sem cruzar, mas com sinais alternados. Testando o ponto $(2,3)$: $3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 6 - 5 = -5 \neq 0$. O ponto não pertence à reta. O erro é o mesmo da alternativa C: não houve o cruzamento correto dos coeficientes ao eliminar o parâmetro.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $9x - 6y + 4 = 0$ é a equação correta multiplicada por um fator, mas com o termo independente errado. Se multiplicarmos a equação correta $2x - 3y + 5 = 0$ por 3, obtemos $6x - 9y + 15 = 0$, não $9x - 6y + 4 = 0$. Além disso, os coeficientes $9$ e $-6$ não são múltiplos proporcionais de $2$ e $-3$ na mesma razão (a razão seria 4,5 e 2, respectivamente). Testando o ponto $(2,3)$: $9 \cdot 2 - 6 \cdot 3 + 4 = 18 - 18 + 4 = 4 \neq 0$. O ponto não pertence à reta.

Gabarito: letra B