Questão de Matemática — Álgebra Linear — CESGRANRIO 2026

Sistemas lineares e a geometria dos planos no R³

Gabarito: letra C. A alternativa correta descreve três planos paralelos, sem ponto comum entre quaisquer dois deles — situação que corresponde a um sistema impossível (sem solução), em que as três equações têm vetores normais proporcionais, mas termos independentes que não seguem a mesma proporção. A análise geométrica das posições relativas dos planos é a chave para classificar o sistema.

O que a questão realmente cobra

Cada equação do primeiro grau com três variáveis, $ax + by + cz = d$, representa um plano no espaço tridimensional. O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes $(a, b, c)$. Quando temos um sistema de três equações, estamos analisando a interseção de três planos. As possibilidades são:

• Sistema possível e determinado (SPD): os três planos se intersectam em um único ponto.

• Sistema possível e indeterminado (SPI): os três planos se intersectam ao longo de uma reta comum, ou dois são coincidentes e o terceiro os intersecta em uma reta.

• Sistema impossível (SI): não há ponto que satisfaça todas as equações simultaneamente. Isso ocorre quando os planos são paralelos distintos, ou quando dois são paralelos e o terceiro os intersecta em retas paralelas, ou ainda quando os três se intersectam dois a dois em retas paralelas distintas (formando um "prisma").

A alternativa C descreve exatamente o caso de três planos paralelos e distintos. Nessa situação, não existe nenhum ponto comum aos três planos, e o sistema é impossível.

Por que as outras alternativas estão incorretas

• Alternativa A: descreve dois planos paralelos e um terceiro que os intersecta. Nesse caso, o terceiro plano forma uma reta com cada um dos paralelos, mas essas retas são paralelas entre si, não havendo ponto comum aos três planos. O sistema seria impossível, mas a descrição não corresponde a três planos paralelos.

• Alternativa B: descreve três planos que se intersectam dois a dois em retas, mas sem ponto comum aos três. Isso configura um sistema impossível, mas a configuração geométrica é a de um "prisma" triangular, não de três planos paralelos.

• Alternativa D: descreve três planos com um único ponto comum, o que caracteriza um sistema possível e determinado (SPD).

• Alternativa E: descreve três planos que se intersectam em uma única reta comum, o que caracteriza um sistema possível e indeterminado (SPI).

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre as diferentes configurações geométricas que levam a um sistema impossível. O candidato pode lembrar que "planos paralelos" geram sistema impossível, mas pode se confundir com a alternativa A ou B, que também representam sistemas impossíveis, porém com outras disposições geométricas. A chave é identificar que a alternativa C é a única que descreve três planos paralelos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa descreve dois planos paralelos e um terceiro que os intersecta, formando uma reta com cada um. Embora o sistema seja impossível (não há ponto comum aos três), a configuração geométrica não é a de três planos paralelos. O terceiro plano não é paralelo aos outros dois, portanto a descrição não corresponde à figura.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa descreve três planos que se intersectam dois a dois em retas, mas sem ponto comum aos três. Essa configuração é conhecida como "prisma" e também representa um sistema impossível. No entanto, os planos não são paralelos entre si, o que a torna incorreta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa descreve três planos paralelos, sem ponto comum entre quaisquer dois deles. Essa é a configuração geométrica que corresponde a um sistema impossível, onde as três equações têm vetores normais proporcionais, mas os termos independentes não seguem a mesma proporção. Não há solução para o sistema.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa descreve três planos com um único ponto comum. Essa é a configuração de um sistema possível e determinado (SPD), onde a solução é única. Não corresponde à figura.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa descreve três planos que se intersectam em uma única reta comum. Essa é a configuração de um sistema possível e indeterminado (SPI), com infinitas soluções. Não corresponde à figura.

Resumo visual

Gabarito: letra C