Questão de Matemática — Funções — CESGRANRIO 2026

Composição de funções: máquinas que transformam números

Gabarito: letra E. O mecanismo da máquina única que substitui as duas acopladas é a composição de funções: primeiro aplica-se a função da primeira máquina e, sobre o resultado, aplica-se a função da segunda. No esquema, a primeira máquina transforma $x$ em $2x - 1$ e a segunda eleva ao quadrado, resultando em $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ — exatamente a alternativa E.

A ideia central desta questão é a composição de funções, representada por $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Quando duas máquinas trabalham em série, o número que entra na primeira é transformado por ela, e o resultado dessa transformação é o que entra na segunda máquina. A máquina única que substitui as duas é aquela cuja regra aplica as duas transformações em sequência. No exemplo dado no enunciado, uma máquina que dobra ($f(x) = 2x$) seguida de uma que soma 1 ($g(x) = x + 1$) equivale a uma única máquina com mecanismo $g(f(x)) = 2x + 1$. Perceba a ordem: primeiro dobra, depois soma — a soma é aplicada sobre o dobro, não sobre o $x$ original.

No esquema da questão, a primeira máquina tem mecanismo $2x - 1$ e a segunda tem mecanismo $x^2$. Isso significa que, para um número $x$ de entrada, a primeira máquina devolve $2x - 1$; esse valor é então a entrada da segunda máquina, que o eleva ao quadrado. A máquina única equivalente tem, portanto, o mecanismo $(2x - 1)^2$. Expandindo o produto notável: $(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é inverter a ordem das operações ou aplicar a segunda função diretamente sobre $x$, ignorando o resultado da primeira. Por exemplo, um candidato apressado poderia calcular $2x^2 - 1$ (aplicando o quadrado apenas ao $x$ e depois subtraindo 1), o que corresponde à alternativa C, mas está errado: o quadrado deve ser aplicado sobre todo o resultado da primeira máquina, ou seja, sobre $2x - 1$, e não apenas sobre $x$. A distinção crucial é: composição não é multiplicação de expressões, é substituição — o resultado de uma função vira a variável da outra.

Para fixar: quando as máquinas estão acopladas, a saída da primeira é a entrada da segunda. A ordem importa, e a álgebra deve respeitar que a segunda função recebe o valor já transformado. Guarde o par "primeira transformação → segunda transformação sobre o resultado": é exatamente nessa sequência que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$x^2 - 1$ seria o resultado se a primeira máquina fosse $x - 1$ e a segunda elevasse ao quadrado, ou se houvesse uma única máquina que subtrai 1 do quadrado de $x$. Mas o esquema mostra a primeira máquina como $2x - 1$; o quadrado deve ser aplicado sobre $2x - 1$, não sobre $x$. A alternativa ignora o fator 2 da primeira transformação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$x^2 + 2$ não corresponde a nenhuma combinação das máquinas dadas. Se a primeira máquina fosse $x + 2$ e a segunda elevasse ao quadrado, teríamos $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$, que também não é esta expressão. É um distrator que mistura os coeficientes sem seguir a composição correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2x^2 - 1$ é a armadilha mais perigosa: parece aplicar o quadrado apenas ao $x$ (como se a segunda máquina recebesse $x$ e não $2x - 1$) e depois subtrair 1. O erro está em não substituir $x$ por $2x - 1$ na função $x^2$. A composição correta exige $(2x - 1)^2$, não $2 \cdot x^2 - 1$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$x^2 + 2x - 1$ seria o resultado de $(x + 1)^2 - 2$ ou de outra combinação, mas não de $(2x - 1)^2$. Ao expandir $(2x - 1)^2$, o termo do meio é $-4x$, não $+2x$. A alternativa confunde os coeficientes do produto notável.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A composição correta é $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, onde $f(x) = 2x - 1$ e $g(x) = x^2$. Substituindo: $g(f(x)) = (2x - 1)^2$. Expandindo o quadrado da diferença: $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$. Esta é exatamente a expressão da alternativa E, que representa a máquina única equivalente às duas acopladas.

A regra de ouro para levar à prova: em composição de funções, a saída da primeira é a entrada da segunda. Sempre substitua o resultado da primeira função na variável da segunda, e só então simplifique a expressão. Com esse cuidado, a pegadinha de aplicar a segunda função diretamente sobre $x$ desaparece.

Gabarito: letra E