GabaritoE — 81/13
Gabarito: letra E — a conta chega a 81/13 — alternativa E.
Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão fixa; uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma razão fixa. Aqui temos uma PG e uma PA, e a sucessão pedida é formada pegando os termos da PG cujos índices são os termos da PA — ou seja, uma seleção de termos da PG, não a PG inteira.
A soma dos infinitos termos de uma PG converge quando a razão q tem módulo menor que 1, e vale S = a₁/(1 - q). Quando os índices formam uma PA de razão r, os termos selecionados formam uma nova PG cuja razão é a razão original elevada a r, pois a_{n+r} = a_n · q^r. Essa é a chave: a razão da nova sequência não é a razão original, mas uma potência dela.
Esta questão cobra exatamente essa transformação: identificar que a sucessão (a_{b_n}) é uma PG com razão (1/3)^3 e aplicar a fórmula da soma infinita. O erro clássico é usar a razão original 1/3, esquecendo o efeito dos índices.
PG (a_n): primeiro termo 6, razão 1/3
PA (b_n): primeiro termo 1, razão 3
O que queremos: o limite da soma de todos os termos da sucessão (a_{b_n})
Para entender o que é a sucessão (a_{b_n}), precisamos ver concretamente quais termos da PG são escolhidos. A PA (b_n) começa em 1 e soma 3, então os índices são 1, 4, 7, 10, ...
Confundir os índices: a PA começa em 1, não em 0.
Com os índices 1, 4, 7, 10, ..., pegamos os termos correspondentes da PG: a₁ = 6, a₄ = 6·(1/3)³ = 6/27 = 2/9, a₇ = 6·(1/3)⁶ = 6/729 = 2/243, e assim por diante. Isso mostra que a nova sequência é (6, 2/9, 2/243, ...).
Por que esta fórmula: Cada termo da PG é a₁ multiplicado pela razão elevada ao número de passos: a_n = a₁·q^(n-1). Para n = 4, o expoente é 3.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 · = enunciado: 1/3 · = passo 1: 1, 4, 7, ...
Esquecer que o expoente é b_n - 1, não b_n.
Para somar os infinitos termos da sucessão (a_{b_n}), precisamos saber se ela é uma PG e qual é a razão. Dividindo um termo pelo anterior: (2/9) ÷ 6 = 1/27. Isso confirma que é uma PG com razão 1/27.
Por que esta fórmula: A razão de uma PG é o quociente entre um termo e o anterior. Como os índices avançam de 3 em 3, cada termo é o anterior multiplicado por q³ = (1/3)³ = 1/27.
De onde vem cada valor: = enunciado: 1/3 · = enunciado: razão da PA (b_n) é 3
Usar a razão original 1/3 em vez de 1/27 — é a pegadinha da questão.
A sucessão (a_{b_n}) é uma PG com primeiro termo 6 e razão 1/27, cujo módulo é menor que 1, então a soma converge. A fórmula da soma infinita é S = a₁/(1 - q).
Por que esta fórmula: Essa é a fórmula clássica para a soma de uma PG infinita com |q| < 1. Ela vem da soma dos n primeiros termos e do limite quando n tende ao infinito.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 · = passo 3: 1/27
Calcular a soma da PG original (6, 2, 2/3, ...) que dá 9 — alternativa A.
Resposta: 81/13 — alternativa E
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