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Questão de Matemática — Progressões — CESGRANRIO 2026

MatemáticaProgressões
Código
cg024025
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Fundação Osório - RJ
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Professor - Matemática
Os ratos são animais que transmitem diversas doenças aos seres humanos e, em especial nas grandes cidades, são um problema que deve ser enfrentado com seriedade, até porque eles se reproduzem muito mais rapidamente do que os seres humanos. Suponha que, em uma determinada cidade, a população humana dobre a cada 30 anos e que a população de ratos dobre a cada 3 anos.Se hoje, nessa cidade, há 1 (um) rato por habitante (1 rato por pessoa), quantos ratos por habitante existirão daqui a 30 anos?
  1. A15
  2. B512
  3. C1.024
  4. D2.048
  5. E4.096
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GabaritoB — 512

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 512 ratos por habitante — alternativa B.

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma constante chamada razão (q). Quando algo 'dobra', a razão é q = 2. O termo geral de uma PG é a_n = a_1 · q^(n-1), onde n é a posição do termo. Aqui, tanto a população humana quanto a de ratos crescem em PG, cada uma com seu próprio ritmo de dobra.

Se uma quantidade dobra a cada período, após k períodos ela é multiplicada por 2^k. A razão entre duas grandezas que crescem exponencialmente também cresce exponencialmente, com expoente igual à diferença entre os números de dobras. Por exemplo, se os ratos dobram 10 vezes e os humanos 1 vez, a razão final é multiplicada por 2^(10-1) = 2^9.

Esta questão pede exatamente isso: calcular quantas vezes cada população dobra em 30 anos e depois combinar os fatores de crescimento na razão. O passo crítico é não esquecer que a população humana também cresce.

O que a questão dá

  • população humana dobra a cada 30 anos

  • população de ratos dobra a cada 3 anos

  • hoje há 1 rato por habitante

  • período considerado: 30 anos

O que queremos: a razão entre o número de ratos e o número de habitantes após 30 anos

Passo 1 — Contar as dobras da população humana

Precisamos saber quantas vezes cada população dobra no período de 30 anos, porque cada dobra multiplica a população por 2. Começamos pela humana, que é a mais simples.

Por que esta fórmula: O número de dobras é o tempo total dividido pelo tempo de cada dobra.

nh=3030n_h = \frac{30}{30}

De onde vem cada valor: 30(numerador)30 (numerador) = enunciado: período de 30 anos · 30(denominador)30 (denominador) = enunciado: população humana dobra a cada 30 anos

nh=3030=1 dobran_h = \frac{30}{30} = \boxed{1\ \text{dobra}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a população humana não dobra, tratando-a como constante.

Passo 2 — Contar as dobras da população de ratos

Agora fazemos o mesmo para os ratos, que têm um ciclo de dobra muito mais curto.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: tempo total dividido pelo tempo de cada dobra.

nr=303n_r = \frac{30}{3}

De onde vem cada valor: 3030 = enunciado: período de 30 anos · 33 = enunciado: população de ratos dobra a cada 3 anos

nr=303=10 dobrasn_r = \frac{30}{3} = \boxed{10\ \text{dobras}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão 30 ÷ 3 = 10, confundindo com 30 ÷ 10 = 3.

Passo 3 — Calcular o fator de crescimento dos ratos

Cada dobra multiplica a população por 2. Com 10 dobras, o fator é 2^10. Precisamos desse fator para aplicar à população inicial de ratos.

Por que esta fórmula: Em uma PG com razão 2, após n dobras o termo é o inicial vezes 2^n.

R30=R0⋅2nrR_{30} = R_0 \cdot 2^{n_r}

De onde vem cada valor: R0R_0 = definição: população inicial de ratos · nrn_r = passo 2: 10

R30=R0⋅210=R0⋅1024R_{30} = R_0 \cdot 2^{10} = \boxed{\text{R}_0 \cdot 1024}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o fator é 2^10 e não 10·2 = 20.

Passo 4 — Calcular o fator de crescimento dos humanos

A população humana também cresce, e isso afeta a razão final. Com 1 dobra, o fator é 2^1 = 2.

Por que esta fórmula: Mesma lógica da PG.

H30=H0⋅2nhH_{30} = H_0 \cdot 2^{n_h}

De onde vem cada valor: H0H_0 = definição: população inicial de humanos · nhn_h = passo 1: 1

H30=H0⋅21=H0⋅2H_{30} = H_0 \cdot 2^{1} = \boxed{\text{H}_0 \cdot 2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2, tratando a população humana como constante.

Passo 5 — Montar a razão final entre ratos e humanos

A pergunta é 'quantos ratos por habitante', ou seja, a razão R/H. Com as expressões dos passos 3 e 4, podemos montar essa razão e simplificar.

Por que esta fórmula: A razão entre as populações após 30 anos é R_30 / H_30. Substituímos as expressões e simplificamos, lembrando que hoje R_0/H_0 = 1.

R30H30=R0⋅210H0⋅21\frac{R_{30}}{H_{30}} = \frac{R_0 \cdot 2^{10}}{H_0 \cdot 2^{1}}

De onde vem cada valor: R0⋅210R_0 \cdot 2^{10} = passo 3 · H0⋅21H_0 \cdot 2^{1} = passo 4

R30H30=R0⋅210H0⋅21=R0H0⋅29\frac{R_{30}}{H_{30}} = \frac{R_0 \cdot 2^{10}}{H_0 \cdot 2^{1}} = \boxed{\frac{R_0}{H_0} \cdot 2^{9}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir pelo fator humano, obtendo 2^10 = 1024.

Passo 6 — Aplicar a razão inicial e calcular o valor final

Sabemos que hoje há 1 rato por habitante, ou seja, R_0/H_0 = 1. Substituímos isso na expressão do passo 5 e calculamos a potência.

Por que esta fórmula: Com R_0/H_0 = 1, a razão final é simplesmente 2^9.

R30H30=1⋅29\frac{R_{30}}{H_{30}} = 1 \cdot 2^{9}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: hoje há 1 rato por habitante · 292^{9} = passo 5

R30H30=29=512 ratosporhabitante\frac{R_{30}}{H_{30}} = 2^{9} = \boxed{512\ \text{ratos} \text{por} \text{habitante}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 2^10 = 1024 e esquecer de subtrair o expoente do crescimento humano.

Resposta: 512 ratos por habitante — alternativa B

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