Questão de Matemática — Probabilidade — CESGRANRIO 2026

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 1/3 — alternativa B.

A ideia por trás

Probabilidade é a medida de quão provável é um evento acontecer, calculada como a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis. Quando escolhas são feitas em sequência sem devolver o que foi pego, cada escolha seguinte depende das anteriores — é o que chamamos de probabilidade condicional.

A probabilidade de um evento composto pode ser calculada multiplicando as probabilidades de cada etapa, desde que as etapas sejam independentes ou condicionadas corretamente. Aqui, a escolha do primeiro menino não afeta o evento que queremos, mas reduz o total de provas disponíveis, mudando as probabilidades das escolhas seguintes.

Esta questão cobra exatamente o efeito da retirada sem reposição: depois que o primeiro menino pega uma prova, restam 3, e a primeira menina tem 1/3 de chance de pegar a prova do mesmo tipo. A partir daí, o destino das meninas fica determinado.

O que a questão dá

• 4 provas: 2 do tipo A e 2 do tipo B

• ordem de escolha: menino 1, menina 1, menino 2, menina 2

• escolhas aleatórias sem reposição

O que queremos: a probabilidade de as duas meninas escolherem a mesma prova

Passo 1 — Perceber que a escolha do primeiro menino é irrelevante

O evento que queremos (as duas meninas com a mesma prova) não depende de qual tipo o primeiro menino pegou, pois a simetria entre A e B garante que a situação é a mesma. Por isso, podemos supor que ele pegou uma prova A, sem perda de generalidade.

Passo 2 — Calcular a chance da primeira menina pegar a mesma prova

Após o primeiro menino pegar uma prova A, restam 3 provas: 1 A e 2 B. A primeira menina escolhe uma delas. Para que as meninas fiquem com a mesma prova, ela precisa pegar a única A restante, pois se pegar B, a segunda menina não terá como pegar A (só sobrará uma A, que o menino 2 pode pegar).

Por que esta fórmula: A probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. Aqui, há 1 caso favorável (pegar a A) entre 3 possíveis.

De onde vem cada valor: $1$ = constante: número de provas A restantes após o menino 1 pegar uma · $3$ = constante: total de provas restantes

Passo 3 — Calcular a chance da primeira menina pegar prova diferente

Se a primeira menina pegar uma das duas B (probabilidade 2/3), então restam 1 A e 1 B. O menino 2 pega uma delas, e a segunda menina pega a última. Para que as meninas tenham a mesma prova, a segunda menina precisa pegar a mesma que a primeira, ou seja, a outra B. Isso só acontece se o menino 2 pegar a A, o que tem probabilidade 1/2.

Por que esta fórmula: A probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem é o produto das probabilidades. Aqui, a primeira menina pega B (2/3) e o menino 2 pega A (1/2), deixando a B para a segunda menina.

De onde vem cada valor: $\frac{2}{3}$ = passo 2: 1 - 1/3 = 2/3 · $\frac{1}{2}$ = constante: probabilidade do menino 2 pegar A, deixando B para a segunda menina

Passo 4 — Somar as probabilidades dos dois caminhos

Os dois caminhos que levam ao evento desejado são mutuamente exclusivos: ou a primeira menina pega A (e a segunda pega B, o que NÃO serve) ou ela pega B e o menino 2 pega A (o que serve). Na verdade, o primeiro caminho não serve, então só o segundo conta. Mas precisamos somar as probabilidades de todos os caminhos que resultam em meninas com a mesma prova.

Por que esta fórmula: Quando um evento pode ocorrer por caminhos diferentes e exclusivos, a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caminho.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{3} \times 0$ = passo 2: probabilidade da primeira menina pegar A, mas a segunda pega B (probabilidade 0 de serem iguais) · $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}$ = passo 3: probabilidade da primeira menina pegar B e menino 2 pegar A, deixando B para a segunda

Resposta: 1/3 — alternativa B