Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESGRANRIO 2026

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a f(10) = 40 — alternativa C.

A ideia por trás

A distância entre dois pontos no plano é o comprimento do segmento que os une, calculado pelo teorema de Pitágoras: para um ponto (x, y) e a origem (0, 0), essa distância é a raiz quadrada de x² + y². Já a equação de uma reta como 2x - y = 0 descreve todos os pontos que satisfazem essa relação; como o termo independente é zero, a reta passa pela origem e impõe que y seja sempre o dobro de x.

A fórmula da distância d = √(x² + y²) vem do teorema de Pitágoras: os catetos são as diferenças de coordenadas (x - 0) e (y - 0), e a hipotenusa é a distância. Quando o ponto está sobre a reta, a equação da reta reduz o problema a uma única variável: substituindo y = 2x, a distância vira d = √(x² + (2x)²) = √(5x²) = x√5 (pois x > 0 no primeiro quadrante). Essa substituição é a chave para resolver o problema.

Esta questão cobra exatamente essa combinação: usar a equação da reta para expressar y em função de x, substituir na fórmula da distância, e então calcular o produto x·y quando a distância é 10.

O que a questão dá

• reta: 2x - y = 0

• ponto P no primeiro quadrante

• distância de P à origem: d = 10

• f(d) = xp · yp

O que queremos: o valor de f(10), ou seja, o produto das coordenadas de P quando a distância à origem é 10

Passo 1 — Expressar y em função de x pela reta

A reta 2x - y = 0 é uma relação entre as coordenadas do ponto P. Isolar y reduz o problema a uma única variável, o que é necessário porque a distância e o produto dependem de duas coordenadas, mas a reta as conecta.

Por que esta fórmula: A equação da reta é dada no enunciado; basta reescrevê-la isolando y.

De onde vem cada valor: $y$ = enunciado: 2x - y = 0 · $x$ = enunciado: coordenada do ponto P

Passo 2 — Substituir y na fórmula da distância

A distância d = √(x² + y²) usa as duas coordenadas; substituindo y = 2x, ela passa a depender só de x, permitindo encontrar x quando d = 10.

Por que esta fórmula: A fórmula da distância entre dois pontos é uma aplicação do teorema de Pitágoras: a distância é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças de coordenadas. Aqui, a origem é (0,0), então d = √(x² + y²).

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: coordenada do ponto P · $y$ = passo 1: y = 2x

Passo 3 — Igualar a distância a 10 e achar x

O enunciado pede f(10), ou seja, o produto quando a distância é 10. Com a expressão d = x√5, igualamos a 10 para descobrir o valor de x.

Por que esta fórmula: A equação d = x√5 vem do passo anterior; isolamos x dividindo ambos os lados por √5.

De onde vem cada valor: $10$ = enunciado: d = 10 · $\sqrt{5}$ = passo 2: d = x√5

Passo 4 — Calcular y usando a relação da reta

Com x conhecido, usamos a equação da reta para obter y, pois o produto pedido precisa das duas coordenadas.

Por que esta fórmula: A relação y = 2x vem do passo 1; basta substituir o valor de x.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 3: x = 2√5

Passo 5 — Multiplicar as coordenadas para obter f(10)

A função f é definida como o produto das coordenadas; agora que temos x e y, basta multiplicá-los.

Por que esta fórmula: O produto de dois números com raízes quadradas: (a√b)(c√d) = ac√(bd). Aqui, (2√5)(4√5) = 8·5 = 40.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 3: x = 2√5 · $y$ = passo 4: y = 4√5

Resposta: f(10) = 40 — alternativa C