Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — CESGRANRIO 2026

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 11 elementos — alternativa A.

A ideia por trás

Quando falamos de conjuntos, a união é a reunião de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos. No diagrama de Venn, ela é a área total coberta pelos dois círculos, incluindo a parte que eles compartilham. A interseção é a região comum, onde os elementos pertencem aos dois ao mesmo tempo.

A fórmula da união é n(M ∪ N) = n(M) + n(N) − n(M ∩ N). Ela existe porque, ao somar os tamanhos de M e N, os elementos da interseção são contados duas vezes — uma em cada conjunto — então precisamos subtraí-los uma vez para corrigir. Se a interseção cresce, a união diminui; se ela é vazia, a união é a soma simples.

Esta questão não dá a interseção diretamente, mas fornece a soma dos elementos exclusivos de cada conjunto. Com isso, podemos montar uma equação para descobrir a interseção e então aplicar a fórmula da união.

O que a questão dá

• M tem 6 elementos

• N tem 7 elementos

• soma dos elementos exclusivos de M e N = 9

O que queremos: o número de elementos da união de M com N

Passo 1 — Definir a interseção como x

Precisamos de um nome para o número de elementos que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo, porque é ele que falta para calcular a união. Chamar de x é o primeiro passo para transformar o problema em equação.

Passo 2 — Expressar os exclusivos em função de x

O enunciado fala dos elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos. Se M tem 6 no total e x estão na interseção, então os que são só de M são 6 − x. O mesmo raciocínio vale para N.

Por que esta fórmula: Essa é a definição de elemento exclusivo: total do conjunto menos a parte compartilhada.

De onde vem cada valor: $n(M)$ = enunciado: 6 · $x$ = passo 1

Passo 3 — Montar a equação da soma dos exclusivos

O enunciado diz que a soma dos exclusivos é 9. Agora que temos as expressões para eles, podemos igualar a soma a 9 e resolver para x.

Por que esta fórmula: É a tradução direta do dado do problema: (só de M) + (só de N) = 9.

De onde vem cada valor: $6 - x$ = passo 2 · $7 - x$ = passo 2 (análogo para N) · $9$ = enunciado

Passo 4 — Resolver a equação para achar x

Com a equação montada, precisamos isolá-la para descobrir quantos elementos estão na interseção. Isso é feito com operações algébricas simples.

Por que esta fórmula: É a resolução da equação do passo anterior: somamos os termos com x e os números, depois isolamos x.

De onde vem cada valor: $13$ = constante: soma de 6 e 7 · $2x$ = constante: soma de -x e -x · $9$ = passo 3

Passo 5 — Calcular a união com a fórmula

Agora que sabemos a interseção, podemos usar a fórmula da união. Ela corrige a dupla contagem dos elementos comuns.

Por que esta fórmula: A fórmula n(M ∪ N) = n(M) + n(N) − n(M ∩ N) é a maneira direta de obter a união, pois subtrai a interseção que foi contada duas vezes.

De onde vem cada valor: $n(M)$ = enunciado: 6 · $n(N)$ = enunciado: 7 · $x$ = passo 4: 2

Resposta: 11 elementos — alternativa A