GabaritoD — 11.340
Gabarito: letra D — a conta chega a 11.340 — alternativa D.
Divisibilidade é a propriedade de um número ser múltiplo de outro: dizemos que A é divisível por B quando a divisão A ÷ B é exata, sem sobra. A fatoração prima é a escrita de um número como produto de números primos (como 2, 3, 5, 7), e o Teorema Fundamental da Aritmética garante que essa escrita é única para cada número. Essa decomposição é a ferramenta mais rápida para decidir divisibilidade sem fazer contas longas.
A regra central é: A é divisível por B se, e somente se, a fatoração de B está 'contida' na de A, ou seja, todos os fatores primos de B aparecem em A com expoentes maiores ou iguais. Por exemplo, se B = 2³ × 3², então A precisa ter, no mínimo, 2³ e 3². Se A tiver 2², não é divisível por B, pois falta um fator 2. Essa comparação de expoentes é o que decide tudo.
A questão pede para aplicar essa regra duas vezes: primeiro verificar quais números têm os fatores de 108 (2² e 3³) com expoentes suficientes, e depois descartar aqueles que também têm os fatores de 72 (2³ e 3²) com expoentes suficientes. O número procurado é o que passa no primeiro teste e falha no segundo.
45.360 = 2^4 · 3^4 · 5 · 7
37.800 = 2^3 · 3^3 · 5^2 · 7
17.640 = 2^3 · 3^2 · 5 · 7^2
11.340 = 2^2 · 3^4 · 5 · 7
1.260 = 2^2 · 3^2 · 5 · 7
O que queremos: qual dos números é divisível por 108, mas não por 72
Para saber o que cada número precisa ter, precisamos conhecer a composição dos divisores. Fatorar é escrever o número como produto de primos; isso revela exatamente quais fatores e com quais expoentes são exigidos.
Por que esta fórmula: Fatoração é a decomposição em primos: dividimos o número pelos menores primos possíveis até sobrar 1. Para 108, dividimos por 2 duas vezes (108 ÷ 2 = 54, 54 ÷ 2 = 27) e depois por 3 três vezes (27 ÷ 3 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1). Para 72, dividimos por 2 três vezes (72 ÷ 2 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9) e por 3 duas vezes (9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1).
De onde vem cada valor: = enunciado: divisibilidade por 108 · = enunciado: não divisibilidade por 72
108 = 2² × 3³; 72 = 2³ × 3²
Errar a fatoração, por exemplo, pensar que 108 = 2² × 3² (falta um 3) ou que 72 = 2² × 3³ (trocar os expoentes).
Agora que sabemos que 108 exige 2² e 3³, precisamos filtrar os números que têm esses fatores com expoentes suficientes. Isso elimina os que não são divisíveis por 108.
Por que esta fórmula: A regra da divisibilidade por fatoração: para ser divisível por 108, o número precisa ter, na sua fatoração, pelo menos 2² e 3³. Comparando cada número listado com essa exigência, vemos que 17.640 tem apenas 3² (falta um 3) e 1.260 tem apenas 3² (também falta um 3), então esses dois são descartados.
Achar que basta ter os fatores 2 e 3, sem conferir os expoentes — por exemplo, 17.640 tem 2 e 3, mas não tem 3³, então não é divisível por 108.
A segunda condição é NÃO ser divisível por 72. Como 72 exige 2³, qualquer número que tenha 2³ ou mais em sua fatoração será divisível por 72 e deve ser eliminado. Isso reduz a lista aos que têm apenas 2².
Por que esta fórmula: A regra inversa: para NÃO ser divisível por 72, o número deve ter expoente do fator 2 menor que 3, ou seja, 2² ou menos. Entre os candidatos restantes, 45.360 tem 2⁴ e 37.800 tem 2³, ambos com 2³ ou mais, então são divisíveis por 72. Já 11.340 tem 2², que é menor que 2³, então não é divisível por 72.
11.340 é o único que atende às duas condições
Confundir a condição: procurar um número divisível por 72 mas não por 108, ou esquecer de verificar o expoente do 2.
Resposta: 11.340 — alternativa D
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