Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESGRANRIO 2026
Matemática›Geometria Analítica
Código
cg056865
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Fundação Osorio
Ano
2026
Cargo
PEBTT ( )
Um ponto P desloca-se, no primeiro quadrante, sobre a reta 2x - y = 0 do plano \mathbb{R}^2. A função f relaciona a distância do ponto P à origem do sistema cartesiano com o produto das coordenadas de P, ou seja, se P tem coordenadas (x_p, y_p) e distância d até o ponto (0, 0), entãof(d) = x_p ⋅ y_p. Segundo essa definição de f, qual é o valor de f(10)?
A10
B20
C40
D100
E200
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GabaritoC — 40
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a f(10) = 40 — alternativa C.
A ideia por trás
A distância entre dois pontos no plano é o comprimento do segmento que os une, calculado pelo teorema de Pitágoras: se um ponto tem coordenadas (x, y), sua distância à origem (0,0) é a raiz quadrada de x² + y². Já a equação de uma reta como 2x - y = 0 descreve todos os pontos que satisfazem essa relação; nesse caso, ela pode ser reescrita como y = 2x, ou seja, a ordenada é sempre o dobro da abscissa.
A fórmula da distância d = √(x² + y²) vem de aplicar Pitágoras no triângulo retângulo formado pelas diferenças das coordenadas. Quando o ponto está sobre uma reta, as coordenadas não são independentes: a equação da reta fornece uma relação entre x e y, permitindo substituir uma variável na outra. Assim, o problema se reduz a resolver uma equação com uma única incógnita.
Esta questão pede para combinar a equação da reta com a fórmula da distância: primeiro expressamos y em função de x, depois substituímos na distância para achar x, e então calculamos o produto x·y.
O que a questão dá
reta: 2x - y = 0
distância de P à origem: d = 10
P está no primeiro quadrante
O que queremos: o valor de f(10), ou seja, o produto x·y das coordenadas de P quando a distância à origem é 10
Passo 1 — Expressar y em função de x
A reta 2x - y = 0 relaciona as duas coordenadas do ponto P. Isolar y nos dá uma expressão que poderemos substituir na fórmula da distância, transformando o problema em uma equação com apenas uma incógnita.
Por que esta fórmula: A equação da reta é uma relação linear entre x e y; isolando y, obtemos y = 2x, que é a forma mais direta de usar essa relação.
De onde vem cada valor: = enunciado: reta 2x - y = 0 · = enunciado: reta 2x - y = 0
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de isolar y e tentar usar a equação como está, sem substituir na distância.
Passo 2 — Substituir y na fórmula da distância
A distância d é dada por √(x² + y²). Como já temos y = 2x, substituímos para obter uma equação apenas em x, que é o que precisamos para achar as coordenadas.
Por que esta fórmula: A fórmula da distância entre (x, y) e (0,0) é d = √(x² + y²). Substituindo y por 2x, ficamos com d = √(x² + (2x)²) = √(5x²).
d = √(x^2 + y^2)
De onde vem cada valor: = enunciado: 10 · = passo 1: x · = passo 1: 2x
10 = √(x^2 + (2x)^2)
10 = √(5x^2)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de elevar 2x ao quadrado corretamente: (2x)² = 4x², não 2x².
Passo 3 — Resolver a equação para x
Agora temos uma equação com uma única incógnita. Precisamos isolar x para descobrir a abscissa do ponto P.
Por que esta fórmula: A equação 10 = √(5x²) pode ser resolvida elevando ambos os lados ao quadrado: 100 = 5x², então x² = 20, e como P está no primeiro quadrante, x é positivo: x = √20 = 2√5.
De onde vem cada valor: = passo 2: 10² · = passo 2: coeficiente de x²
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de considerar o sinal positivo de x, já que o ponto está no primeiro quadrante.
Passo 4 — Calcular y usando a relação da reta
Com x conhecido, usamos a equação da reta para achar a ordenada y, completando as coordenadas do ponto.
Por que esta fórmula: Da reta, y = 2x. Substituindo x = 2√5, obtemos y = 2 · 2√5 = 4√5.
De onde vem cada valor: = passo 3: 2√5
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 2 e usar y = 2√5, o que daria produto errado.
Passo 5 — Calcular o produto x·y
A função f pede exatamente o produto das coordenadas. Com x e y conhecidos, basta multiplicá-los.
Por que esta fórmula: O produto é x·y. Substituindo os valores: (2√5)(4√5) = 8·5 = 40.
De onde vem cada valor: = passo 3: 2√5 · = passo 4: 4√5
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação de raízes: √5 · √5 = 5, não 25.