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Questão de Matemática — Matrizes — CESGRANRIO 2026

MatemáticaMatrizes
Código
cg056866
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Fundação Osorio
Ano
2026
Cargo
PEBTT ( )
Cada nota bimestral dos alunos de uma turma é o elemento a_{ij} da matriz A_{30 ×\times 4}, na qual i representa o aluno de número i do diário de classe, e j, cada um dos quatro bimestres letivos. A nota final dos alunos é calculada multiplicando a matriz A pela transposta da matriz de pesos P = [ 2 \ 2 \ 3 \ 3 ]. Três das notas presentes na matriz A são a_{22,1} = 6, a_{22,2} = 5 e a_{22,3} = 8.   Se a nota final do aluno de número 22 do diário de classe foi 70, qual é o valor de a_{22,4}?
  1. A5
  2. B6
  3. C7
  4. D8
  5. E9
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GabaritoD — 8

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a a_{22,4} = 8 — alternativa D.

A ideia por trás

Uma matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas. Aqui, a matriz A guarda as notas: cada linha é um aluno e cada coluna é um bimestre. A transposta de uma matriz troca linhas por colunas: uma linha vira coluna e vice-versa. Multiplicar matrizes é combinar linhas da primeira com colunas da segunda, somando os produtos termo a termo.

A nota final é o produto da linha do aluno pela coluna de pesos. Isso é uma média ponderada: cada nota é multiplicada pelo seu peso e tudo é somado. A ordem importa: A (30×4) vezes P^t (4×1) dá uma matriz 30×1, mas P^t vezes A não é possível porque as dimensões internas não batem. A transposta de P é uma coluna com os mesmos números.

Esta questão pede para montar a média ponderada do aluno 22 usando os pesos e os valores conhecidos, e então isolar a nota desconhecida do quarto bimestre.

O que a questão dá

  • matriz A de dimensões 30×4

  • matriz de pesos P = [2 2 3 3]

  • a_{22,1} = 6

  • a_{22,2} = 5

  • a_{22,3} = 8

  • nota final do aluno 22 = 70

O que queremos: o valor de a_{22,4}

Passo 1 — Escrever a transposta da matriz de pesos

A nota final é calculada multiplicando A pela transposta de P. Como P é uma linha, sua transposta é uma coluna, e é essa coluna que será usada na multiplicação.

Por que esta fórmula: A transposição troca linhas por colunas. P tem uma linha e quatro colunas; P^t terá quatro linhas e uma coluna, com os mesmos números na mesma ordem.

Pt=[2233]P^t = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}

De onde vem cada valor: 2,2,3,32, 2, 3, 3 = enunciado: P = [2 2 3 3]

Pt=Pteˊumacoluna4×1P^t = \boxed{\text{P}^\text{t} é \text{uma} \text{coluna} 4\times 1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de transpor e usar P como linha, o que daria dimensões incompatíveis na multiplicação.

Passo 2 — Montar a expressão da nota final do aluno 22

A nota final é o produto da linha 22 de A pela coluna P^t. Isso resulta em uma soma de produtos: cada nota multiplicada pelo peso correspondente.

Por que esta fórmula: Na multiplicação de matrizes, o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos da linha i da primeira pela coluna j da segunda. Aqui, a linha 22 de A tem as quatro notas e a coluna de P^t tem os quatro pesos.

nota final=a22,1⋅2+a22,2⋅2+a22,3⋅3+a22,4⋅3\text{nota final} = a_{22{,}1} \cdot 2 + a_{22{,}2} \cdot 2 + a_{22{,}3} \cdot 3 + a_{22{,}4} \cdot 3

De onde vem cada valor: a22,1,a22,2,a22,3,a22,4a_{22{,}1}, a_{22{,}2}, a_{22{,}3}, a_{22{,}4} = enunciado: linha 22 da matriz A · 2,2,3,32, 2, 3, 3 = passo 1: elementos de P^t

NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem dos pesos, por exemplo usar 3 para o primeiro bimestre.

Passo 3 — Substituir os valores conhecidos

Temos três notas e a nota final; substituímos para transformar a expressão em uma equação com uma incógnita.

Por que esta fórmula: A expressão do passo 2 é a fórmula; agora colocamos os números dados no lugar das letras.

6⋅2+5⋅2+8⋅3+a22,4⋅3=706 \cdot 2 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + a_{22{,}4} \cdot 3 = 70

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: a_{22,1} = 6 · 55 = enunciado: a_{22,2} = 5 · 88 = enunciado: a_{22,3} = 8 · 7070 = enunciado: nota final do aluno 22 = 70

6⋅2+5⋅2+8⋅3+a22,4⋅3=706 \cdot 2 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + a_{22{,}4} \cdot 3 = 70
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar alguma nota pelo peso, ou usar o peso errado.

Passo 4 — Calcular as parcelas conhecidas

Para isolar a incógnita, primeiro somamos os produtos que já têm números.

Por que esta fórmula: A ordem das operações: multiplicação antes da adição.

12+10+24+3a22,4=7012 + 10 + 24 + 3a_{22{,}4} = 70

De onde vem cada valor: 1212 = passo 3: 6×2 · 1010 = passo 3: 5×2 · 2424 = passo 3: 8×3 · 3a22,43a_{22{,}4} = passo 3: a_{22,4}×3

12+10+24+3a22,4=7012 + 10 + 24 + 3a_{22{,}4} = 70
46+3a22,4=7046 + 3a_{22{,}4} = \boxed{70}
NÃO CAIA NESSA!

Somar antes de multiplicar, por exemplo 6+2=8 em vez de 6×2=12.

Passo 5 — Isolar a incógnita

A equação está quase pronta; precisamos deixar a_{22,4} sozinha de um lado.

Por que esta fórmula: Para isolar, subtraímos 46 dos dois lados e depois dividimos por 3.

3a22,4=70−463a_{22{,}4} = 70 - 46

De onde vem cada valor: 7070 = enunciado: nota final · 4646 = passo 4: soma das parcelas conhecidas

3a22,4=243a_{22{,}4} = 24
a22,4=8a_{22{,}4} = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 46 dos dois lados, ou dividir errado.

Resposta: a_{22,4} = 8 — alternativa D

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