Questão de Matemática — Inequações de Primeiro Grau (Inequações Simultâneas, Inequações-Produto e Quociente) — CESGRANRIO 2026

Interseção de regiões do plano cartesiano: inequações simultâneas

Gabarito: letra D. A interseção dos três conjuntos é um triângulo de área 4 cm². As retas $y = x + 1$ e $y = -x + 1$ se cruzam no ponto (0, 1), e a reta $y = 3$ limita a região superiormente, formando um triângulo com base de 4 cm e altura de 2 cm, cuja área é $\frac{4 \times 2}{2} = 4$ cm².

O problema pede a interseção de três semiplanos definidos por inequações do 1º grau. Cada inequação representa uma região do plano: $y > x + 1$ é a região acima da reta $y = x + 1$; $y > -x + 1$ é a região acima da reta $y = -x + 1$; e $y < 3$ é a região abaixo da reta horizontal $y = 3$. A interseção dessas três regiões é a área comum a todas elas.

Para visualizar, vamos encontrar os pontos de interseção das retas. As retas $y = x + 1$ e $y = -x + 1$ se cruzam quando $x + 1 = -x + 1$, o que dá $2x = 0$, logo $x = 0$ e $y = 1$. Esse é o vértice inferior do triângulo. A reta $y = x + 1$ cruza a reta $y = 3$ quando $x + 1 = 3$, ou seja, $x = 2$. A reta $y = -x + 1$ cruza a reta $y = 3$ quando $-x + 1 = 3$, ou seja, $x = -2$. Assim, os três vértices do triângulo são $(-2, 3)$, $(2, 3)$ e $(0, 1)$.

A base do triângulo é o segmento horizontal que vai de $x = -2$ até $x = 2$, sobre a reta $y = 3$, medindo 4 cm. A altura é a distância vertical do vértice inferior $(0, 1)$ até a base, que é $3 - 1 = 2$ cm. A área do triângulo é, portanto, $\frac{4 \times 2}{2} = 4$ cm².

A pegadinha desta questão está em não perceber que a região é um triângulo e, em vez disso, tentar calcular a área de uma região ilimitada. A condição $y < 3$ é o que "fecha" a região, transformando-a em um triângulo finito. Sem ela, a interseção de $y > x + 1$ e $y > -x + 1$ seria uma região infinita (um ângulo aberto para cima).

Guarde o método: para resolver problemas de interseção de regiões, desenhe as retas, identifique a região comum e calcule a área da figura geométrica resultante. É exatamente isso que vamos fazer para cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A interseção não é vazia. O ponto $(0, 2)$, por exemplo, satisfaz as três inequações: $2 > 0 + 1$, $2 > -0 + 1$ e $2 < 3$. Portanto, existem pontos na interseção, e ela não é o conjunto vazio.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A interseção não é um conjunto unitário. Como vimos, há infinitos pontos na região, como $(0, 2)$, $(1, 2.5)$, $(-1, 2.5)$, etc. Um conjunto unitário teria apenas um ponto, o que não é o caso.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A área do triângulo não é 2 cm². O erro aqui provavelmente vem de calcular a área usando uma base ou altura incorretas. A base correta é 4 cm (de $x = -2$ a $x = 2$) e a altura é 2 cm (de $y = 1$ a $y = 3$), resultando em $\frac{4 \times 2}{2} = 4$ cm². Se o aluno usasse base 2 e altura 2, obteria 2 cm², mas a base é 4 cm.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A interseção é um triângulo com vértices em $(-2, 3)$, $(2, 3)$ e $(0, 1)$. A base mede 4 cm (distância entre $x = -2$ e $x = 2$) e a altura mede 2 cm (distância vertical de $y = 1$ até $y = 3$). A área é $\frac{4 \times 2}{2} = 4$ cm².

Alternativa E — ❌ Incorreta

A região não tem área infinita. A condição $y < 3$ limita a região superiormente, e as retas $y = x + 1$ e $y = -x + 1$ limitam a região lateralmente, formando um triângulo fechado. Sem a condição $y < 3$, a região seria infinita, mas com ela, a área é finita e igual a 4 cm².

Gabarito: letra D