Questão de Matemática — Progressão Geométrica — CESGRANRIO 2026

Progressão geométrica: soma dos termos de uma sequência composta

Gabarito: letra E. A sucessão $(a_{b_n})$ é uma nova progressão geométrica cujo primeiro termo é $a_{b_1} = a_1 = 6$ e cuja razão é $q = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$. Como $|q| < 1$, a soma dos infinitos termos converge para $\frac{a_1}{1-q} = \frac{6}{1 - \frac{1}{27}} = \frac{81}{13}$.

O problema combina duas progressões: uma geométrica $(a_n)$ com primeiro termo 6 e razão $\frac{1}{3}$, e uma aritmética $(b_n)$ com primeiro termo 1 e razão 3. A expressão $(a_{b_n})$ significa que usamos os termos da PA como índices da PG. Ou seja, o primeiro termo da nova sequência é $a_{b_1} = a_1 = 6$; o segundo é $a_{b_2} = a_4$; o terceiro é $a_{b_3} = a_7$; e assim por diante.

Para entender a nova sequência, precisamos do termo geral de cada progressão. Na PG, o termo geral é $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$. Na PA, o termo geral é $b_n = b_1 + (n-1) \cdot r = 1 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 2$. Portanto, o termo geral da sequência composta é:

Isso revela que $(a_{b_n})$ é uma nova PG com primeiro termo 6 e razão $\frac{1}{27}$. A razão é o cubo da razão original, porque os índices avançam de 3 em 3 (a razão da PA).

A soma dos infinitos termos de uma PG converge quando a razão está entre -1 e 1 (exclusive). A fórmula é $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$. Como $q = \frac{1}{27}$, temos:

A pegadinha clássica deste tipo de questão é esquecer que os índices são dados pela PA e tentar somar a PG original diretamente. A soma da PG original seria $\frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = 9$, que é a alternativa A — um distrator que pune exatamente esse erro. Outra armadilha é errar o cálculo da razão da nova PG, usando $\frac{1}{3}$ em vez de $\frac{1}{27}$.

Guarde o critério decisivo: a razão da sequência composta é a razão da PG elevada à razão da PA. É exatamente nesse ponto que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 9 é a soma dos infinitos termos da PG original $(a_n)$, calculada como $\frac{6}{1 - 1/3} = 9$. A banca usa esse distrator para quem não percebe que a sequência pedida é $(a_{b_n})$, não $(a_n)$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{27}{4} = 6,75$ não corresponde a nenhuma soma direta das progressões dadas. Pode surgir de um erro ao calcular a razão da nova PG como $\frac{1}{9}$ (elevando ao quadrado em vez do cubo), o que daria $\frac{6}{1 - 1/9} = \frac{27}{4}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{27}{26}$ é o resultado de $\frac{1}{1 - 1/27}$, ou seja, a soma da PG com primeiro termo 1 e razão $\frac{1}{27}$. Quem erra ao esquecer de multiplicar pelo primeiro termo 6 chega a esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{48}{7} \approx 6,857$ não tem relação direta com as progressões do enunciado. Pode resultar de uma combinação incorreta das razões, como usar $\frac{1}{3} + \frac{1}{9}$ ou outro artifício que não corresponde à fórmula da soma.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A sequência $(a_{b_n})$ é uma PG com primeiro termo 6 e razão $\frac{1}{27}$. Aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos, $S_\infty = \frac{6}{1 - 1/27} = \frac{81}{13}$, que é exatamente o valor da alternativa.

Gabarito: letra E