Questão de Matemática — Expressões Algébricas — CESGRANRIO 2026

Composição de funções: máquinas acopladas

Gabarito: letra E — a máquina que sozinha faz o trabalho das duas juntas é a composição das funções, e o mecanismo resultante é $4x^2 - 4x + 1$. A questão pede para substituir a saída da primeira máquina na entrada da segunda, o que é exatamente a definição de função composta.

A ideia central é que, quando duas máquinas (funções) trabalham em sequência, a saída da primeira vira a entrada da segunda. Se a primeira máquina transforma $x$ em $g(x)$ e a segunda transforma sua entrada em $f(x)$, então o efeito combinado é $f(g(x))$ — primeiro aplica-se $g$, depois aplica-se $f$ ao resultado. Isso é a composição de funções, denotada por $f \circ g$.

No exemplo dado no enunciado, uma máquina que dobra ($g(x) = 2x$) acoplada a uma que soma 1 ($f(x) = x + 1$) resulta em $f(g(x)) = 2x + 1$. Perceba a ordem: primeiro entra $x$, sai $2x$; esse $2x$ entra na segunda máquina, que soma 1, resultando em $2x + 1$. A nova máquina única tem exatamente esse mecanismo.

Na questão, as máquinas acopladas têm mecanismos que, pela figura, são $g(x) = 2x - 1$ (primeira) e $f(x) = x^2$ (segunda). Aplicando a composição: primeiro $g(x) = 2x - 1$, depois $f(g(x)) = (2x - 1)^2$. Expandindo o produto notável: $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$. Portanto, a máquina única que substitui as duas tem mecanismo $4x^2 - 4x + 1$.

A pegadinha clássica aqui é inverter a ordem das máquinas ou esquecer de aplicar a segunda função sobre a saída da primeira. Se o aluno aplicasse a segunda máquina diretamente sobre $x$ (ou seja, $f(x) = x^2$) e depois a primeira sobre o resultado ($g(f(x)) = 2x^2 - 1$), chegaria à alternativa C, que é um distrator. A ordem importa: a composição não é comutativa em geral.

Guarde o critério decisivo: a saída da primeira máquina é a entrada da segunda. É exatamente nessa substituição que as alternativas se dividem — quem troca a ordem ou não substitui corretamente cai nos distratores.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$x^2 - 1$ seria o resultado se a primeira máquina fosse $x - 1$ e a segunda $x^2$, mas a figura indica $2x - 1$ na primeira. Aqui o aluno erra ao não aplicar o fator 2 na composição, tratando a primeira máquina como se fosse apenas subtrair 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$x^2 + 2$ não corresponde a nenhuma composição direta das máquinas da figura. Parece uma soma de termos soltos, sem relação com a substituição correta. O aluno pode ter somado os mecanismos em vez de compô-los.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2x^2 - 1$ é o resultado de aplicar a segunda máquina ($x^2$) primeiro e depois a primeira ($2x - 1$), ou seja, $g(f(x)) = 2x^2 - 1$. Isso inverte a ordem das máquinas: na figura, a primeira é $2x - 1$ e a segunda é $x^2$, então a composição correta é $f(g(x))$, não $g(f(x))$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$x^2 + 2x - 1$ parece uma expansão incorreta de $(x + 1)^2 - 2$ ou algo similar, mas não corresponde à composição $f(g(x)) = (2x - 1)^2$. O aluno pode ter tentado expandir $(2x - 1)^2$ e errado o produto notável, esquecendo o termo $-4x$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A composição correta é $f(g(x))$, onde $g(x) = 2x - 1$ e $f(x) = x^2$. Substituindo: $f(g(x)) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$. A expansão usa o produto notável $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, com $a = 2x$ e $b = 1$, resultando em $4x^2 - 4x + 1$.

Gabarito: letra E