Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — CESGRANRIO 2026

Relações métricas no triângulo retângulo e a classificação do ângulo

Gabarito: letra C. A altura de 6 cm divide a base AC em segmentos de 4 cm e 9 cm, formando dois triângulos retângulos. Pela relação métrica $h^2 = m \cdot n$, temos $6^2 = 4 \cdot 9 = 36$, o que confirma que o triângulo ABC é retângulo em B. Portanto, o ângulo $m = A\widehat{B}C$ mede exatamente 90°, que está no intervalo $72^o < m \leq 108^o$.

A questão explora as relações métricas no triângulo retângulo, um conjunto de fórmulas que conectam a hipotenusa, os catetos, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre ela. Quando traçamos a altura a partir do vértice do ângulo reto, ela divide a hipotenusa em dois segmentos, chamados de projeções. A relação fundamental é que o quadrado da altura é igual ao produto das projeções: $h^2 = m \cdot n$. Essa é a chave para resolver o problema.

Vamos aplicar isso ao caso concreto. A altura relativa ao lado AC mede 6 cm e divide esse lado em segmentos de 4 cm e 9 cm. Se o triângulo fosse retângulo em B, a altura relativa à hipotenusa AC satisfaria exatamente a relação $h^2 = m \cdot n$. Calculando: $6^2 = 36$ e $4 \cdot 9 = 36$. Como os valores coincidem, a relação é satisfeita, o que prova que o triângulo ABC é retângulo no vértice B. Assim, o ângulo $A\widehat{B}C$ mede 90°.

A recíproca do Teorema de Pitágoras também sustenta essa conclusão. Se em um triângulo o quadrado do maior lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é retângulo. Aqui, os lados AB e BC podem ser calculados pelas relações $c^2 = a \cdot n$ e $b^2 = a \cdot m$, onde $a = 4 + 9 = 13$ cm é a hipotenusa. Temos $AB^2 = 13 \cdot 4 = 52$ e $BC^2 = 13 \cdot 9 = 117$. Somando: $52 + 117 = 169 = 13^2$, confirmando que o ângulo oposto ao lado AC (que é o ângulo B) é reto.

A pegadinha da banca está em não perceber que a relação $h^2 = m \cdot n$ é uma condição necessária e suficiente para que o triângulo seja retângulo. Muitos candidatos podem tentar calcular os lados e usar a lei dos cossenos, mas a verificação direta da relação métrica é mais rápida e elegante. O ângulo de 90° cai no intervalo da alternativa C, que é o único que contém esse valor.

Guarde o critério decisivo: quando a altura relativa a um lado divide esse lado em dois segmentos e o quadrado da altura é igual ao produto desses segmentos, o triângulo é retângulo no vértice oposto a esse lado. É exatamente essa relação que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo $0^o < m \leq 36^o$ corresponde a ângulos agudos bem pequenos. Como demonstrado, o ângulo $m$ mede 90°, que está muito acima desse intervalo. A banca tenta induzir o candidato a achar que o ângulo é agudo, talvez por uma leitura apressada das medidas dos segmentos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $36^o < m \leq 72^o$ também contém apenas ângulos agudos. O ângulo de 90° não pertence a esse intervalo. O candidato que não aplicar a relação $h^2 = m \cdot n$ pode errar o cálculo e chegar a um valor agudo, caindo nesta alternativa.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo $72^o < m \leq 108^o$ contém o ângulo de 90°. Como a relação $h^2 = m \cdot n$ é satisfeita ($36 = 36$), o triângulo é retângulo em B, e o ângulo $A\widehat{B}C$ mede exatamente 90°. Este é o único intervalo que inclui esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo $108^o < m < 144^o$ corresponde a ângulos obtusos. O ângulo de 90° não é obtuso, portanto não pertence a esse intervalo. A banca pode tentar confundir o candidato que calcular o ângulo pela lei dos cossenos de forma incorreta, obtendo um valor obtuso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo $144^o < m < 180^o$ corresponde a ângulos muito obtusos, próximos de 180°. O ângulo de 90° está muito distante desse intervalo. Essa alternativa é um distrator para quem não consegue determinar o ângulo e chuta um valor extremo.

A regra de ouro para levar à prova: em um triângulo, se a altura relativa a um lado o divide em dois segmentos $m$ e $n$, e $h^2 = m \cdot n$, então o triângulo é retângulo no vértice oposto a esse lado. Essa relação é a forma mais direta de identificar um triângulo retângulo sem calcular todos os lados.

Gabarito: letra C