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Questão de Matemática — Comprimento da Circunferência e do Arco de Circunferência — CESGRANRIO 2026

MatemáticaComprimento da Circunferência e do Arco de Circunferência
Código
cg056873
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Fundação Osorio
Ano
2026
Cargo
PEBTT ( )
Um estudante percebeu que o Sol ficava a pino em sua cidade ao meio-dia do dia 21 de março, ou seja, nesse momento os objetos não possuíam sombra. Como ele sabia que a Terra é redonda, decidiu fazer um experimento para medir o raio da Terra. Viajou na direção norte até uma cidade que ficava a 3150 km de distância e, ao meio-dia de 21 de março, mediu o ângulo que os raios solares faziam com a vertical, encontrando30^{\circ}. Sendo o Sol uma fonte de luz muito distante, ele poderia considerar que os raios solares que incidem sobre o planeta são paralelos. O esquema de seu experimento está ilustrado a seguir.   Considerando a Terra uma esfera perfeita, e usando π\pi = 3 , qual a medida do raio da Terra, em km, encontrada pelo estudante?Imagem associada para resolução da questão
  1. A6.300,0
  2. B12.600,0
  3. C3.150,0
  4. D1.050,0
  5. E32,4
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 6.300,0

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a R = 6300 km — alternativa A.

A ideia por trás

O comprimento de um arco de circunferência é a medida do trecho da borda do círculo entre dois pontos. Ele depende de dois fatores: o tamanho do círculo (dado pelo raio) e a abertura do ângulo central que enxerga esse arco. Quanto maior o ângulo, maior o arco, e quanto maior o raio, maior o arco para o mesmo ângulo.

A relação é uma proporção: o arco L está para o ângulo central α assim como a circunferência inteira (2πR) está para 360°. Em fórmula: L = (α/360°) · 2πR. Isso significa que, se o ângulo é 30°, o arco é 30/360 = 1/12 da circunferência total. Dobrar o ângulo dobra o arco, e dobrar o raio dobra o arco também.

Esta questão usa essa relação ao contrário: conhecemos o arco (3150 km) e o ângulo (30°), e precisamos achar o raio. A chave é montar a proporção e isolar R.

O que a questão dá

  • distância entre as cidades = 3150 km

  • ângulo dos raios solares com a vertical = 30°

  • π = 3

O que queremos: o raio da Terra em km

Passo 1 — Montar a proporção entre arco e ângulo

O experimento mostra que o ângulo de 30° entre os raios solares corresponde ao ângulo central entre as duas cidades na superfície da Terra. Como os raios são paralelos, esse ângulo é exatamente o que subentende o arco de 3150 km. Por isso, podemos usar a fórmula do comprimento de arco.

Por que esta fórmula: A fórmula L = (α/360°) · 2πR vem da regra de três: o arco L é para o ângulo α assim como a circunferência completa (2πR) é para 360°. É a relação direta entre arco e ângulo central.

L=α360°⋅2πRL = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi R

De onde vem cada valor: LL = enunciado: 3150 km · α\alpha = enunciado: 30° · π\pi = enunciado: 3

3150=30360⋅2⋅3⋅R3150 = \frac{30}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot R
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de usar o ângulo em graus na fração, ou inverter a fração (360/30 em vez de 30/360), o que daria um valor 12 vezes maior.

Passo 2 — Simplificar a fração do ângulo

Antes de isolar R, simplificamos a fração 30/360 para facilitar a conta. Isso mostra que o arco é 1/12 da circunferência total.

Por que esta fórmula: 30/360 = 1/12, pois 30 divide 360 doze vezes. Essa simplificação é pura aritmética.

30360=112\frac{30}{360} = \frac{1}{12}

De onde vem cada valor: 3030 = enunciado: ângulo de 30° · 360360 = constante: volta completa em graus

30360=112=1 /12\frac{30}{360} = \frac{1}{12} = \boxed{1\ /12}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar e tentar resolver com números grandes, aumentando a chance de erro de conta.

Passo 3 — Calcular o produto 2π

Com π = 3, o termo 2π vira 6. Isso simplifica a equação para uma forma mais direta.

Por que esta fórmula: 2π é o fator que aparece na fórmula da circunferência; substituindo π por 3, temos 2·3 = 6.

2π=2×3=62\pi = 2 \times 3 = 6

De onde vem cada valor: 22 = constante: fator da fórmula da circunferência · π\pi = enunciado: 3

2×3=6=62 \times 3 = 6 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Usar π = 3,14 em vez de 3, o que daria um resultado ligeiramente diferente e não corresponderia ao gabarito.

Passo 4 — Substituir na equação e isolar R

Agora temos a equação com números: 3150 = (1/12) · 6 · R. Para achar R, precisamos resolver essa equação do primeiro grau.

Por que esta fórmula: A equação vem da substituição dos valores na fórmula do arco. Isolar R significa deixá-lo sozinho de um lado, dividindo ambos os lados pelo coeficiente que o multiplica.

3150=112⋅6⋅R3150 = \frac{1}{12} \cdot 6 \cdot R

De onde vem cada valor: 31503150 = enunciado: arco L · 112\frac{1}{12} = passo 2 · 66 = passo 3

3150=612⋅R3150 = \frac{6}{12} \cdot R
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 3150 por 12 em vez de dividir, ou esquecer de simplificar 6/12 para 1/2.

Passo 5 — Resolver a equação para R

Com 6/12 = 1/2, a equação fica 3150 = R/2. Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos R.

Por que esta fórmula: Se R/2 = 3150, então R = 3150 × 2, pois multiplicar por 2 desfaz a divisão por 2.

R=3150×2R = 3150 \times 2

De onde vem cada valor: 31503150 = enunciado: arco L · 22 = constante: inverso da fração 1/2

R=3150×2=6300 kmR = 3150 \times 2 = \boxed{6300\ \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 3150 por 2 em vez de multiplicar, obtendo 1575 km.

Resposta: R = 6300 km — alternativa A

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