Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg057803

GabaritoA — { \large 5 \over 2} \ log_{10} \left ( { \large b_0 \over b}\right)

Logaritmos: mudança de base

Gabarito: letra A. A magnitude aparente é dada por $5\log_{100}\left(\frac{b_0}{b}\right)$ . Para expressá-la em logaritmo decimal, aplicamos a mudança de base: $\log_{100} x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} 100} = \frac{\log_{10} x}{2}$ . Assim, $5\log_{100}\left(\frac{b_0}{b}\right) = 5 \cdot \frac{1}{2} \log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right) = \frac{5}{2}\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)$ .

A mudança de base é uma propriedade que permite converter um logaritmo de uma base para outra. A fórmula geral é:

\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}

onde $c$ é a nova base desejada. No caso, queremos converter da base 100 para a base 10. O raciocínio é: para transformar $\log_{100} x$ em logaritmo decimal, dividimos $\log_{10} x$ por $\log_{10} 100$ . Como $100 = 10^2$ , temos $\log_{10} 100 = 2$ . Portanto, $\log_{100} x = \frac{\log_{10} x}{2}$ .

Aplicando isso à expressão original:

5\log_{100}\left(\frac{b_0}{b}\right) = 5 \cdot \frac{\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)}{2} = \frac{5}{2}\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)

O fator $\frac{5}{2}$ surge porque o logaritmo na base 100 é metade do logaritmo na base 10 (já que $100 = 10^2$ ).

Exemplo numérico: Se $\frac{b_0}{b} = 100$ , então $\log_{100} 100 = 1$ e $\log_{10} 100 = 2$ . A expressão original dá $5 \times 1 = 5$ , e a convertida dá $\frac{5}{2} \times 2 = 5$ . Os valores coincidem, confirmando a conversão.

Pegadinha da banca: A banca explora a confusão entre as bases 100 e 10. O candidato pode esquecer de dividir por 2 e marcar a alternativa C (10), ou multiplicar por 2 e marcar a D (20). A chave é lembrar que $\log_{100} x = \frac{1}{2}\log_{10} x$ , pois $100 = 10^2$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca adora trocar a base 100 pela base 10 sem aplicar a divisão correta. Lembre-se: $\log_{100} x = \frac{\log_{10} x}{2}$ , nunca $2\log_{10} x$ . O fator $\frac{1}{2}$ é a essência da conversão.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a mudança de base: $\log_{100}\left(\frac{b_0}{b}\right) = \frac{\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)}{\log_{10} 100} = \frac{\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)}{2}$ . Multiplicando por 5, obtemos $\frac{5}{2}\log_{10}\left(\frac{b_0}{b}\right)$ , exatamente o que a alternativa apresenta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O fator $\frac{15}{2}$ não tem relação com a conversão. Ele surgiria se, em vez de dividir por 2, multiplicássemos por 3 (erro comum ao confundir $\log_{100}$ com $\log_{1000}$ ). A conversão correta é dividir por 2, não por 3.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O fator 10 aparece se o candidato esquecer de dividir por 2 e apenas multiplicar 5 por 2 (confundindo $\log_{100}$ com $\log_{10^2}$ ). O correto é $5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ , não $5 \times 2 = 10$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O fator 20 surge se o candidato multiplicar 5 por 4 (confundindo $\log_{100}$ com $\log_{10^4}$ ). A base 100 é $10^2$ , então o fator de conversão é $\frac{1}{2}$ , não $\frac{1}{4}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O fator 50 não tem base lógica na conversão. Ele poderia surgir de um erro de cálculo como $5 \times 10$ , mas a conversão correta é $5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ .

Gabarito: letra A