Matemática · CESGRANRIO · 2024 | Questão sqc-cg057804

Geometria Espacial: construção de um cone a partir de um semicírculo

Gabarito: letra C. Ao cortar o disco de 20 cm de diâmetro ao meio e colar os raios, cada semicírculo vira a superfície lateral de um cone. O raio do semicírculo (10 cm) torna-se a geratriz do cone, e o comprimento do arco do semicírculo (metade da circunferência original) torna-se o comprimento da circunferência da base do cone. Com a geratriz $g = 10$ cm e o raio da base $r = 5$ cm, a altura é obtida por Pitágoras: $h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75}$ cm.

Vamos entender o que acontece geometricamente. Um cone é formado por uma base circular e uma superfície lateral que se encontra no vértice. Quando "planificamos" a superfície lateral de um cone, obtemos um setor circular — um pedaço de círculo. O raio desse setor é a geratriz do cone (a distância do vértice até a borda da base), e o comprimento do arco desse setor é exatamente o comprimento da circunferência da base do cone.

No problema, partimos de um disco completo de diâmetro 20 cm, ou seja, raio $R = 10$ cm. Cortamos ao meio, obtendo dois semicírculos idênticos. Cada semicírculo tem:

Raio igual ao raio do disco: $R = 10$ cm.
Arco com comprimento igual à metade da circunferência do disco: $\frac{2\pi R}{2} = \pi R = 10\pi$ cm.

Ao colar os segmentos OP e OQ (que são os dois raios do semicírculo), o semicírculo se curva e forma a superfície lateral de um cone. Nesse processo:

O raio do semicírculo ( $R = 10$ cm) vira a geratriz ( $g$ ) do cone.
O arco do semicírculo ( $10\pi$ cm) vira a circunferência da base do cone.

Agora, com a circunferência da base conhecida, podemos achar o raio da base ( $r$ ):

2\pi r = 10\pi \Rightarrow r = 5 \text{ cm}

Temos, então, um triângulo retângulo formado pela geratriz ( $g = 10$ cm, hipotenusa), o raio da base ( $r = 5$ cm, cateto) e a altura ( $h$ , outro cateto). Pelo Teorema de Pitágoras:

g^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow 10^2 = 5^2 + h^2 \Rightarrow 100 = 25 + h^2 \Rightarrow h^2 = 75 \Rightarrow h = \sqrt{75} \text{ cm}

A pegadinha clássica deste tipo de questão é confundir o raio do disco (ou do semicírculo) com o raio da base do cone. Eles não são iguais: o raio do semicírculo vira a geratriz, e o raio da base é calculado a partir do comprimento do arco. Outro erro comum é usar o diâmetro (20 cm) como geratriz, em vez do raio (10 cm).

Guarde a relação fundamental: o arco do setor circular que forma a lateral do cone é igual à circunferência da base do cone. É essa igualdade que conecta as medidas do setor (raio e arco) com as medidas do cone (geratriz e raio da base).

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 5 cm corresponde ao raio da base do cone, não à altura. Quem marcou esta alternativa provavelmente calculou o raio da base corretamente ( $r = 5$ cm), mas parou por aí, sem aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 10 cm corresponde ao raio do disco (e, consequentemente, à geratriz do cone). Quem marcou esta alternativa confundiu a geratriz com a altura, ignorando que a altura é sempre menor que a geratriz em um cone (a geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo formado com a altura e o raio da base).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado: a geratriz é $g = 10$ cm, o raio da base é $r = 5$ cm, e a altura é $h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75}$ cm. Esta é a resposta correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{125}$ cm seria obtido se a geratriz fosse $g = \sqrt{125 + 25} = \sqrt{150}$ cm, o que não ocorre. Ou, alternativamente, se o raio da base fosse $r = \sqrt{125 - 100} = 5$ cm, o que também não é o caso. Este distrator não corresponde a nenhuma combinação correta dos dados do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\sqrt{150}$ cm seria obtido se a geratriz fosse $g = \sqrt{150 + 25} = \sqrt{175}$ cm, o que não ocorre. Ou, se o raio da base fosse $r = \sqrt{150 - 100} = \sqrt{50}$ cm, o que também não é o caso. Este distrator não corresponde a nenhuma combinação correta dos dados do problema.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o raio do disco (que vira geratriz) e o raio da base do cone. O candidato apressado pode usar 10 cm como raio da base e obter $h = \sqrt{100 - 100} = 0$ , ou usar o diâmetro 20 cm como geratriz e obter $h = \sqrt{400 - 25} = \sqrt{375}$ . A chave é lembrar que o arco do semicírculo vira a circunferência da base, e é isso que permite calcular o raio da base.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de planificação de cone, identifique primeiro o que é geratriz (raio do setor) e o que é arco (circunferência da base). Depois, monte o triângulo retângulo com geratriz, altura e raio da base, e aplique Pitágoras. Treine com outros exemplos: um setor de 120° de um círculo de raio 12 cm forma um cone com geratriz 12 cm e raio da base 4 cm (pois $\frac{120}{360} \cdot 2\pi \cdot 12 = 8\pi = 2\pi r \Rightarrow r = 4$ ).

Gabarito: letra C