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Questão de Matemática — Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular — CESGRANRIO 2024

MatemáticaÁrea do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular
Código
cg057805
Banca
CESGRANRIO
Órgão
UNEMAT
Ano
2024
Cargo
Ag Uni ( )
Na Figura, representa-se um setor circular cujo ângulo central é α\alpha. A área desse setor circular corresponderá a 23\frac{2}{3} da área do círculo quando a medirImagem associada para resolução da questão
  1. A120o
  2. B225o
  3. C230o
  4. D240o
  5. E270o
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 240o

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a α = 240° — alternativa D.

A ideia por trás

O setor circular é a fatia do círculo delimitada por dois raios e um arco. Imagine uma pizza: cada fatia é um setor, e o ângulo central é o 'bico' da fatia no centro. A área de cada fatia é proporcional ao tamanho desse ângulo — uma fatia de 90° (um quarto de volta) tem um quarto da área total, uma de 180° (meia volta) tem metade, e assim por diante.

A área do setor é dada por A_setor = (α/360°) · πr², onde α é o ângulo central em graus e r é o raio. Como a área do círculo inteiro é A_círculo = πr², a razão entre a área do setor e a área do círculo é exatamente α/360°. Essa razão cresce linearmente com o ângulo: dobrar o ângulo dobra a fração da área.

O problema pede que essa razão seja 2/3. Então basta igualar α/360° a 2/3 e resolver para α.

O que a questão dá

  • área do setor = 2/3 da área do círculo

  • ângulo central do setor = α (em graus)

O que queremos: o valor do ângulo central α que faz a área do setor ser 2/3 da área do círculo

Passo 1 — Montar a proporção entre ângulo e área

A área do setor é diretamente proporcional ao ângulo central: um setor de ângulo α ocupa a fração α/360° da área do círculo. Como queremos que essa fração seja 2/3, montamos a igualdade.

Por que esta fórmula: A área do setor é (α/360°) · πr², e a área do círculo é πr². Dividindo uma pela outra, o πr² cancela e sobra α/360°. Essa é a relação que liga ângulo e área.

α360°=23\frac{\alpha}{360°} = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: α\alpha = enunciado: ângulo central do setor · 360°360° = definição: círculo completo em graus · 23\frac{2}{3} = enunciado: fração da área do círculo

α360°=23\frac{\alpha}{360°} = \frac{2}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração: usar 3/2 em vez de 2/3, o que daria 540° (fora das alternativas).

Passo 2 — Isolar o ângulo alfa

A equação está montada; agora precisamos deixar α sozinho de um lado para descobrir seu valor. Multiplicar os dois lados por 360° desfaz a divisão.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, α = (2/3) · 360°.

α=23×360°\alpha = \frac{2}{3} \times 360°

De onde vem cada valor: 23\frac{2}{3} = passo 1: fração da área · 360°360° = passo 1: círculo completo

α=23×360=240 ∘\alpha = \frac{2}{3} \times 360 = \boxed{240\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 3/2 · 360° = 540°, que não está nas alternativas; ou confundir com 120° (que seria 1/3 da área).

Resposta: α = 240° — alternativa D

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