Questão de Matemática — Logaritmo — CESGRANRIO 2024

Logaritmos: crescimento e decrescimento percentual

Gabarito: letra E. O número de clientes de P decresce 8% ao ano, então após $t$ anos ele vale $P_0 \cdot (0,92)^t$; o de Q cresce 14%, valendo $Q_0 \cdot (1,14)^t$. Como $P_0 = 6Q_0$, a igualdade $6Q_0(0,92)^t = Q_0(1,14)^t$ leva a $6 = \left(\frac{1,14}{0,92}\right)^t$, e aplicando logaritmo decimal dos dois lados obtemos $t = \frac{\log 6}{\log 1,14 - \log 0,92}$ — exatamente a alternativa E.

O problema combina dois temas que a banca adora unir: variação percentual sucessiva (o fator multiplicativo de um decréscimo de 8% é $1 - 0,08 = 0,92$; o de um acréscimo de 14% é $1 + 0,14 = 1,14$) e equação exponencial resolvida por logaritmo. A ideia central é que, quando uma grandeza varia a uma taxa constante por período, ela segue um modelo exponencial: $V_f = V_i \cdot (1 \pm i)^t$. Para descobrir o tempo $t$ em que duas grandezas se igualam, montamos a igualdade e isolamos $t$ aplicando logaritmo — que é a operação inversa da exponenciação.

Vamos montar o problema com calma. Seja $Q_0$ o número atual de clientes de Q. O investimento P tem 6 vezes esse valor, ou seja, $P_0 = 6Q_0$. Após $t$ anos:

• P: $P(t) = 6Q_0 \cdot (0,92)^t$ (decresce 8% ao ano);

• Q: $Q(t) = Q_0 \cdot (1,14)^t$ (cresce 14% ao ano).

Queremos $P(t) = Q(t)$:

Cancelando $Q_0$ (que é positivo):

Aplicando $ log_{10}$ nos dois lados e usando a propriedade do logaritmo da potência ($\log a^t = t \cdot \log a$):

Pela propriedade do logaritmo do quociente ($\log\frac{a}{b} = \log a - \log b$):

É exatamente a forma da alternativa E. Repare que o logaritmo usado é o decimal (base 10), indicado pela notação $\log$ sem base explícita — a mesma adotada em todas as alternativas.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é inverter os fatores: usar $1,08$ em vez de $0,92$ para o decréscimo, ou trocar o numerador pelo denominador. Outra armadilha é esquecer que o "6" (a razão inicial) também entra no logaritmo — ele não pode ficar multiplicando fora do log. A alternativa E é a única que coloca o $\log 6$ no numerador e a diferença dos logaritmos no denominador, exatamente como a dedução exige.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta opção coloca o fator 6 multiplicando o logaritmo no numerador, em vez de aplicar o logaritmo ao próprio 6. O correto é $\log 6$ no numerador, não $6 \cdot \log 1,14$. Além disso, o denominador deveria ser a diferença $\log 1,14 - \log 0,92$, e não apenas $\log 0,92$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta opção usa os números 14 e 8 como se fossem os fatores percentuais, ignorando que as taxas são 14% e 8% — ou seja, os fatores são 1,14 e 0,92. Também coloca o 6 multiplicando o logaritmo no denominador, o que não corresponde à dedução correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Aqui o numerador está certo ($\log 6$), mas o denominador usa 14 e 8 em vez de 1,14 e 0,92. A diferença correta é $\log 1,14 - \log 0,92$, que representa o logaritmo da razão entre os fatores de crescimento e decrescimento.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta opção tem o denominador correto, mas mantém o 6 como fator simples no numerador, sem aplicar o logaritmo. O correto é $\log 6$ no numerador, pois é o logaritmo da razão inicial que aparece na equação exponencial.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como deduzido: $6 = \left(\frac{1,14}{0,92}\right)^t$ → $\log 6 = t \cdot (\log 1,14 - \log 0,92)$ → $t = \frac{\log 6}{\log 1,14 - \log 0,92}$. O numerador é o logaritmo da razão inicial (6) e o denominador é o logaritmo da razão entre os fatores anuais (1,14/0,92), que pela propriedade do quociente vira a diferença dos logaritmos.

Gabarito: letra E