Questão de Matemática — Sistemas Lineares — CESGRANRIO 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a x0 + y0 + z0 = 10 — alternativa C.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. A solução é a tripla de números (x, y, z) que, substituída em cada equação, torna todas elas verdadeiras. Resolver o sistema é encontrar essa tripla.

Existem vários métodos para resolver sistemas lineares, como substituição, adição e escalonamento. A ideia central é sempre reduzir o número de incógnitas até sobrar uma equação com uma incógnita, descobrir seu valor e ir voltando. A escolha do método depende da estrutura das equações: se uma equação tem menos incógnitas, ela costuma ser o melhor ponto de partida.

Nesta questão, a terceira equação (3x - y = 7) não tem a incógnita z, então é a porta de entrada ideal: isolamos y e substituímos nas outras duas, transformando o sistema 3x3 em um sistema 2x2 mais simples.

O que a questão dá

• sistema: -2x + 2y + z = 3

• sistema: x + y - 3z = 11

• sistema: 3x - y = 7

O que queremos: a soma x0 + y0 + z0 da solução do sistema

Passo 1 — Isolar y na equação sem z

A terceira equação só tem x e y, então é a mais simples para começar. Isolar y aqui nos permite substituí-lo nas outras duas equações, eliminando uma incógnita e reduzindo o problema.

Por que esta fórmula: A equação 3x - y = 7 é uma equação linear simples; isolamos y somando y e subtraindo 7 dos dois lados.

De onde vem cada valor: $3x$ = enunciado: termo da terceira equação · $7$ = enunciado: termo independente da terceira equação

Passo 2 — Substituir y na primeira equação

Agora que y está em função de x, substituímos na primeira equação para eliminar y e ficar com uma equação só com x e z.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde aparece y, colocamos 3x - 7.

De onde vem cada valor: $-2x$ = enunciado: primeira equação · $2(3x - 7)$ = passo 1: y = 3x - 7 multiplicado por 2 · $z$ = enunciado: primeira equação · $3$ = enunciado: termo independente da primeira equação

Passo 3 — Substituir y na segunda equação

Fazemos o mesmo na segunda equação para obter outra equação só com x e z, formando um sistema 2x2.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde aparece y, colocamos 3x - 7.

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: segunda equação · $(3x - 7)$ = passo 1: y = 3x - 7 · $-3z$ = enunciado: segunda equação · $11$ = enunciado: termo independente da segunda equação

Passo 4 — Resolver o sistema 2x2 para x e z

Agora temos duas equações com as mesmas duas incógnitas, x e z. Subtrair uma da outra elimina x e deixa uma equação só com z.

Por que esta fórmula: Como as duas equações têm o mesmo coeficiente 4x, subtrair a segunda da primeira cancela x: (4x + z) - (4x - 3z) = 17 - 18.

De onde vem cada valor: $4z$ = passo 2 e passo 3: z - (-3z) = 4z · $-1$ = passo 2 e passo 3: 17 - 18 = -1

Passo 5 — Encontrar x usando o valor de z

Com z conhecido, substituímos em uma das equações 2x2 para achar x.

Por que esta fórmula: Usamos a equação 4x + z = 17 do passo 2, que é mais simples.

De onde vem cada valor: $4x$ = passo 2: equação 4x + z = 17 · $-1/4$ = passo 4: z = -1/4 · $17$ = passo 2: termo independente

Passo 6 — Encontrar y usando o valor de x

Com x conhecido, voltamos à expressão do passo 1 para achar y.

Por que esta fórmula: Usamos y = 3x - 7 do passo 1.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 1: coeficiente de x · $69/16$ = passo 5: x = 69/16 · $7$ = passo 1: termo independente

Passo 7 — Somar x, y e z

A questão pede a soma, não os valores individuais. Somamos as três frações.

Por que esta fórmula: Soma direta de frações com o mesmo denominador.

De onde vem cada valor: $69/16$ = passo 5: x · $95/16$ = passo 6: y · $-1/4$ = passo 4: z

Resposta: x0 + y0 + z0 = 10 — alternativa C