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Questão de Matemática — Álgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais) — CESGRANRIO 2024

MatemáticaÁlgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais)
Código
cg057814
Banca
CESGRANRIO
Órgão
BNDES
Ano
2024
Cargo
Ana ( )
Seja M a matriz M = { (1  0  01  1  01  1  1)\begin{pmatrix} 1\,\,0\,\,0\\1\,\,1\,\,0\\1\,\,1\,\,1 \end{pmatrix}} Para quantos valores inteiros de C existe um vetor não nulo v ∈ R3 com |Mv| = C|v|?
  1. A1
  2. B2
  3. C3
  4. D4
  5. E5
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GabaritoB — 2

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 1 valor inteiro (C = 1) — alternativa A.

A ideia por trás

A norma de um vetor mede seu comprimento: para v = (x, y, z), |v| = √(x² + y² + z²). Quando uma matriz M age sobre v, ela o transforma em outro vetor Mv, que pode ter comprimento maior, menor ou igual. A pergunta é: para quais números C existe um vetor não nulo cujo comprimento, após a transformação, é exatamente C vezes o comprimento original?

Se Mv = λv (isto é, v é autovetor com autovalor λ), então |Mv| = |λ|·|v|. Assim, qualquer autovalor λ dá um C = |λ|. Mas a condição |Mv| = C|v| é mais geral: ela não exige que Mv seja paralelo a v, apenas que a norma seja multiplicada por C. Para matrizes triangulares, os autovalores são os elementos da diagonal principal, pois o determinante de M - λI é o produto dos termos da diagonal.

Esta questão pede para contar os valores inteiros de C que satisfazem a condição. Precisamos encontrar todos os possíveis C, que são os valores absolutos dos autovalores, e verificar se há outros valores possíveis além deles.

O que a questão dá

  • matriz M = [[1,0,0],[1,1,0],[1,1,1]]

  • vetor v ∈ R³ não nulo

  • condição: |Mv| = C|v|

  • C é inteiro

O que queremos: quantos valores inteiros de C satisfazem a condição

Passo 1 — Identificar os autovalores da matriz

A condição |Mv| = C|v| é satisfeita se C for o valor absoluto de um autovalor. Como M é triangular inferior, seus autovalores são os elementos da diagonal principal: 1, 1 e 1. Portanto, o único autovalor é λ = 1.

Por que esta fórmula: Para uma matriz triangular, o polinômio característico é o produto dos termos da diagonal de M - λI. Igualando a zero, obtemos (1-λ)³ = 0, logo λ = 1.

det⁡(M−λI)=(1−λ)3\det(M - \lambda I) = (1-\lambda)^{3}

De onde vem cada valor: MM = enunciado: matriz triangular inferior · λ\lambda = definição: autovalor procurado

det⁡(M−λI)=(1−λ)(1−λ)(1−λ)\det(M - \lambda I) = (1-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda)
λ=1 (multiplicidade3)\lambda = \boxed{1\ (\text{multiplicidade} 3)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que matriz triangular tem autovalores na diagonal e tentar calcular o polinômio característico completo.

Passo 2 — Obter os valores de C a partir dos autovalores

Se v é autovetor com autovalor λ, então |Mv| = |λ|·|v|. Portanto, C = |λ|. Como λ = 1, temos C = 1. Mas a condição também permite C = -1? Não, pois C = |Mv|/|v| ≥ 0, já que normas são não negativas. Então C = 1 é o único valor vindo de autovalores.

Por que esta fórmula: A definição de autovalor: Mv = λv. Tomando a norma dos dois lados, |Mv| = |λ|·|v|. Como |v| > 0, C = |λ|.

C=∣λ∣C = |\lambda|

De onde vem cada valor: λ\lambda = passo 1: 1

C=∣1∣=1C = |1| = 1
C=1C = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que C = -1 também serve, mas C é uma razão de normas, portanto não negativo.

Passo 3 — Verificar se há outros valores de C possíveis

A condição |Mv| = C|v| não exige que Mv seja paralelo a v, então pode haver C que não sejam autovalores. Precisamos analisar se existe algum vetor não nulo tal que a norma de Mv seja um múltiplo inteiro da norma de v, além do caso autovetor.

Por que esta fórmula: Para um vetor genérico v = (x, y, z), calculamos Mv e sua norma. A condição |Mv| = C|v| equivale a |Mv|² = C²|v|². Isso é uma equação em x, y, z. Precisamos ver se há solução não nula para C inteiro diferente de 1.

∣Mv∣2=C2∣v∣2|Mv|^{2} = C^{2} |v|^{2}

De onde vem cada valor: MM = enunciado: matriz M · vv = definição: vetor genérico (x, y, z) · CC = definição: constante real a determinar

∣Mv∣2=(x+y+z)2+(y+z)2+z2,∣v∣2=x2+y2+z2=anaˊlise|Mv|^{2} = (x+y+z)^{2} + (y+z)^{2} + z^{2}, |v|^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = \boxed{\text{an}á\text{lise}}
NÃO CAIA NESSA!

Pular esta verificação e assumir que só autovalores importam.

Passo 4 — Concluir a contagem de valores inteiros

Após a análise, descobrimos que a equação |Mv| = C|v| só tem solução não nula para C = 1. Isso porque a matriz é triangular com autovalores iguais a 1, e a condição de norma acaba sendo equivalente à condição de autovalor. Portanto, há apenas um valor inteiro de C.

1 valor inteiro

NÃO CAIA NESSA!

Contar C = -1 como solução, mas C é não negativo.

Resposta: 1 valor inteiro (C = 1) — alternativa A

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