Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESGRANRIO 2024

Distância entre retas reversas no espaço

Gabarito: letra B. A distância entre as retas reversas $r_0$ e $r_1$ é $d = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Isso porque a distância mínima entre duas retas reversas é dada pela projeção do vetor que liga um ponto de cada reta sobre a direção perpendicular comum a ambas, calculada pela fórmula $d = \dfrac{|(\vec{P_0P_1}) \cdot (\vec{v_0} \times \vec{v_1})|}{|\vec{v_0} \times \vec{v_1}|}$, onde $\vec{v_0}$ e $\vec{v_1}$ são os vetores diretores das retas.

A distância entre duas retas no espaço tridimensional é um conceito fundamental da Geometria Analítica. Quando duas retas não são paralelas e não se intersectam, elas são chamadas de retas reversas. A distância entre elas é definida como o comprimento do segmento de reta perpendicular a ambas que as une — é a menor distância possível entre qualquer ponto de uma e qualquer ponto da outra.

Para calcular essa distância, precisamos de:

1. Vetores diretores de cada reta ($\vec{v_0}$ e $\vec{v_1}$): vetores que indicam a direção de cada reta.

2. Um ponto em cada reta ($P_0$ e $P_1$): para formar o vetor $\vec{P_0P_1}$ que liga as duas retas.

3. O produto vetorial $\vec{v_0} \times \vec{v_1}$: que resulta em um vetor perpendicular a ambos os vetores diretores, ou seja, perpendicular a ambas as retas. A direção desse vetor é a direção da distância mínima.

A fórmula final é:

O numerador é o valor absoluto do produto escalar (também chamado de produto misto) entre o vetor que liga as retas e o vetor perpendicular comum. Isso calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. O denominador é a norma (comprimento) do vetor perpendicular comum. A divisão resulta na altura desse paralelepípedo, que é exatamente a distância entre as retas.

Vamos aplicar isso ao problema:

Reta $r_0$: passa por $(0,0,0)$ e $(1,1,1)$. Seu vetor diretor é $\vec{v_0} = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$. Um ponto na reta é $P_0 = (0,0,0)$.

Reta $r_1$: passa por $(1,0,0)$ e $(1,1,0)$. Seu vetor diretor é $\vec{v_1} = (1-1, 1-0, 0-0) = (0,1,0)$. Um ponto na reta é $P_1 = (1,0,0)$.

Vetor $\vec{P_0P_1}$: $\vec{P_0P_1} = P_1 - P_0 = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Produto vetorial $\vec{v_0} \times \vec{v_1}$:

Norma do produto vetorial:

Produto escalar $\vec{P_0P_1} \cdot (\vec{v_0} \times \vec{v_1})$:

Distância:

Portanto, a distância entre as retas é $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que as retas são reversas (não se intersectam e não são paralelas) e que a distância mínima não é simplesmente a distância entre dois pontos dados, mas sim o comprimento do segmento perpendicular comum. O candidato que tentar calcular a distância entre pontos específicos (como $(0,0,0)$ e $(1,0,0)$) obterá $1$, que não é a resposta correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{1}{2}$ não corresponde à distância calculada. Esse valor poderia surgir de um erro de cálculo, como por exemplo, esquecer de racionalizar a fração $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ou errar no produto vetorial. A distância correta é $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$, enquanto $\dfrac{1}{2} = 0,5$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado no desenvolvimento, a distância entre as retas reversas é $d = \dfrac{|\vec{P_0P_1} \cdot (\vec{v_0} \times \vec{v_1})|}{|\vec{v_0} \times \vec{v_1}|} = \dfrac{|-1|}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Este é o valor exato da distância mínima entre as duas retas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ não é a distância correta. Esse valor poderia surgir de um erro no cálculo do produto vetorial ou da norma. Por exemplo, se o aluno calculasse erroneamente $|\vec{v_0} \times \vec{v_1}| = \sqrt{3}$ (o que aconteceria se o produto vetorial fosse $(1,1,1)$), obteria $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, que não é $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. O valor $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ também não corresponde a nenhum cálculo intermediário correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $2$ é claramente incorreto. A distância entre as retas é menor que $1$, como mostra o cálculo. Esse valor poderia surgir de um erro grosseiro, como por exemplo, calcular a distância entre os pontos $(0,0,0)$ e $(1,1,0)$ (que é $\sqrt{2}$) e depois multiplicar por algo, ou simplesmente um chute.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ não corresponde à distância correta. Esse valor poderia surgir de um erro no cálculo do produto vetorial ou da norma. Por exemplo, se o aluno calculasse erroneamente $|\vec{v_0} \times \vec{v_1}| = \sqrt{5}$ (o que aconteceria se o produto vetorial fosse, por exemplo, $(1,2,0)$), obteria um valor diferente. O valor $\dfrac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,118$ é maior que a distância correta.

Gabarito: letra B