GabaritoD — 1
Gabarito: letra D. A área da região R é dada pela integral definida da diferença entre a função superior (y = x) e a função inferior (y = 4x³ - 3x), no intervalo onde a condição x ≥ 0 é satisfeita e a desigualdade é válida. O cálculo resulta em área = 1.
A questão envolve o conceito de área entre duas curvas, um tópico central do Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo de interesse e, em seguida, integrar a diferença entre elas. A condição x ≥ 0 restringe o domínio ao primeiro e quarto quadrantes, mas a desigualdade 4x³ - 3x ≤ y ≤ x define uma região finita apenas onde a curva cúbica está abaixo da reta y = x.
Primeiro, encontramos os pontos de interseção entre as duas curvas, resolvendo a equação 4x³ - 3x = x. Isso nos dá 4x³ - 4x = 0, ou 4x(x² - 1) = 0, cujas soluções são x = -1, x = 0 e x = 1. Como x ≥ 0, o intervalo relevante é [0, 1]. Nesse intervalo, a reta y = x está acima da curva cúbica, pois, por exemplo, em x = 0,5, temos y = 0,5 para a reta e y = 4(0,125) - 1,5 = -1 para a cúbica. Portanto, a área é a integral de 0 a 1 de [x - (4x³ - 3x)] dx.
A integral definida é a ferramenta que calcula a área sob uma curva. Quando temos duas funções, a área entre elas é a integral da diferença entre a função superior e a inferior. O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite calcular essa integral encontrando uma antiderivada e avaliando-a nos limites de integração.
Vamos ao cálculo passo a passo:
Identificar as funções: f(x) = x (superior) e g(x) = 4x³ - 3x (inferior).
Encontrar os limites de integração: Resolver f(x) = g(x) para achar as interseções. Como x ≥ 0, os limites são x = 0 e x = 1.
Montar a integral: A área A = ∫₀¹ [f(x) - g(x)] dx = ∫₀¹ [x - (4x³ - 3x)] dx = ∫₀¹ (4x - 4x³) dx.
Calcular a antiderivada: A antiderivada de 4x é 2x², e a de -4x³ é -x⁴. Portanto, a antiderivada de 4x - 4x³ é 2x² - x⁴.
Avaliar nos limites: A = [2x² - x⁴] de 0 a 1 = (2(1)² - (1)⁴) - (2(0)² - (0)⁴) = (2 - 1) - 0 = 1.
Portanto, a área da região R é exatamente 1.
A pegadinha desta questão está em identificar corretamente o intervalo de integração. Muitos candidatos podem esquecer a condição x ≥ 0 e considerar também o intervalo [-1, 0], onde a curva cúbica está acima da reta, o que levaria a um cálculo incorreto. Além disso, é crucial não inverter a ordem das funções na integral, pois isso resultaria em uma área negativa.
O valor 1/4 não corresponde à área calculada. Esse número poderia surgir de um erro ao integrar apenas parte do intervalo ou ao avaliar incorretamente a antiderivada nos limites. Por exemplo, se o candidato integrasse apenas de 0 a 0,5, obteria um valor menor, mas não exatamente 1/4. Não há uma justificativa direta para esse valor, indicando um erro de cálculo ou de interpretação do problema.
O valor 1/2 também não é a área correta. Esse número poderia resultar de um erro ao calcular a antiderivada ou ao avaliar os limites. Por exemplo, se o candidato esquecesse o termo -x⁴ e integrasse apenas 4x, obteria 2x², que avaliado de 0 a 1 resulta em 2, não 1/2. Portanto, é um distrator que não corresponde a nenhum erro comum específico, mas sim a um cálculo incorreto genérico.
O valor 3/4 não é a área da região. Esse número poderia surgir de um erro ao avaliar a antiderivada, como, por exemplo, calcular 2(1)² - (1)⁴ = 2 - 1 = 1, mas depois subtrair incorretamente o valor em x = 0, ou errar na simplificação da expressão. Não há uma razão lógica para esse valor, sendo um distrator que testa a precisão do cálculo.
A área é exatamente 1, como demonstrado no cálculo passo a passo. A integral definida de 0 a 1 de (4x - 4x³) dx resulta em 1, confirmando que a alternativa D é a correta. Este é o resultado obtido ao aplicar corretamente o Teorema Fundamental do Cálculo.
O valor 2 não corresponde à área. Esse número poderia surgir se o candidato integrasse apenas a função 4x, esquecendo o termo -4x³, resultando em 2x² avaliado de 0 a 1, que é 2. No entanto, a função correta a ser integrada é 4x - 4x³, que inclui o termo cúbico, levando ao resultado 1. Portanto, essa alternativa explora o erro de omitir parte do integrando.
A banca explora a confusão entre a função superior e inferior, além de testar se o candidato lembra de considerar a condição x ≥ 0. Muitos podem inverter a ordem na integral, obtendo área negativa, ou esquecer de restringir o intervalo, incluindo valores negativos de x. Fique atento: a área entre curvas é sempre a integral da função de cima menos a de baixo, e os limites são as interseções que satisfazem as condições do problema.
Para questões de área entre curvas, siga sempre o roteiro: (1) encontre as interseções resolvendo f(x) = g(x); (2) determine qual função está acima no intervalo de interesse; (3) integre a diferença (superior - inferior) nos limites encontrados. Esse método resolve a maioria dos problemas de área sem depender de memorização de fórmulas específicas.
Gabarito: letra D
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