Questão de Matemática — Função Composta — CESGRANRIO 2025

Função composta: f(g(x)) com exponencial e logaritmo

Gabarito: letra A. Para todo $x > 0$, temos $f(g(x)) = f(\log_9 x) = 3^{2\log_9 x}$. Usando a propriedade $a^{\log_a b} = b$ e a mudança de base, chegamos a $3^{2\log_9 x} = 9^{\log_9 x} = x$. A chave é reconhecer que $3^2 = 9$, o que permite reescrever a expressão e aplicar a identidade fundamental entre exponencial e logaritmo.

A questão cobra a composição de funções, um conceito central em matemática. Dadas duas funções $f$ e $g$, a composta $f \circ g$ é definida por $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, ou seja, aplicamos primeiro a função $g$ ao valor $x$ e, em seguida, aplicamos a função $f$ ao resultado obtido. No caso, $f(x) = 3^{2x}$ e $g(x) = \log_9 x$. Portanto, $f(g(x)) = f(\log_9 x) = 3^{2 \cdot \log_9 x}$.

O passo crucial é simplificar a expressão $3^{2 \log_9 x}$. Para isso, usamos duas propriedades fundamentais:

1. Propriedade da potência de logaritmo: $a \cdot \log_b c = \log_b (c^a)$. Assim, $2 \log_9 x = \log_9 (x^2)$.

2. Identidade exponencial-logarítmica: $b^{\log_b y} = y$. Para usar essa identidade, precisamos que a base da exponencial seja igual à base do logaritmo. Temos $3^{\log_9 (x^2)}$, mas a base da exponencial é 3 e a do logaritmo é 9. Como $9 = 3^2$, podemos reescrever: $3^{\log_9 (x^2)} = 3^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_9 (x^2)}$? Não, isso não ajuda diretamente. O caminho mais direto é notar que $3^{2 \log_9 x} = (3^2)^{\log_9 x} = 9^{\log_9 x}$. Agora sim, a base da exponencial (9) coincide com a base do logaritmo (9), e podemos aplicar a identidade: $9^{\log_9 x} = x$.

Vamos verificar com um exemplo numérico. Se $x = 9$, então $g(9) = \log_9 9 = 1$. Aplicando $f$: $f(1) = 3^{2 \cdot 1} = 3^2 = 9$. O resultado é $9$, que é exatamente o valor de $x$. Se $x = 81$, $g(81) = \log_9 81 = 2$ (pois $9^2 = 81$), e $f(2) = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 = 81$. Novamente, o resultado é $x$. Isso confirma que $f(g(x)) = x$ para todo $x > 0$.

A pegadinha desta questão está em não reconhecer que $3^{2} = 9$ e tentar aplicar a identidade $a^{\log_a b} = b$ diretamente com bases diferentes (3 e 9), o que levaria a um beco sem saída. O candidato que não percebe a conversão $3^{2 \log_9 x} = 9^{\log_9 x}$ pode se perder em manipulações algébricas incorretas ou escolher uma alternativa errada. A banca explora exatamente essa falta de familiaridade com as propriedades dos logaritmos e expoentes.

Guarde o passo decisivo: para simplificar $a^{k \log_b x}$, tente reescrever a base $a$ como uma potência de $b$ (ou vice-versa) para que as bases coincidam e a identidade $b^{\log_b y} = y$ possa ser aplicada. É esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $f(g(x)) = 3^{2\log_9 x} = (3^2)^{\log_9 x} = 9^{\log_9 x} = x$. A alternativa reproduz exatamente o resultado da composição, utilizando a propriedade fundamental que relaciona exponenciais e logaritmos de mesma base.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $x^2$. Esse valor surgiria se a simplificação fosse $3^{2\log_9 x} = (3^{\log_9 x})^2$, o que não é válido, pois a base da exponencial (3) difere da base do logaritmo (9). A confusão está em aplicar a identidade $a^{\log_a b} = b$ sem antes igualar as bases.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{x^2}{2}$. Esse resultado não tem relação com a composição correta. Provavelmente, o candidato tentou aplicar alguma propriedade de logaritmo de forma equivocada, como dividir o expoente por 2, sem fundamento matemático.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $2x^2$. Esse valor também não decorre da simplificação correta. Pode ter sido obtido ao se confundir a propriedade $a^{\log_a b} = b$ com $a^{k \log_a b} = k \cdot b$, o que é um erro comum.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\sqrt{x}$. Esse valor surgiria se a expressão fosse $3^{\frac{1}{2}\log_9 x}$, o que não é o caso. A confusão pode vir de interpretar o expoente $2\log_9 x$ como $\log_9 (x^{1/2})$, invertendo a operação.

Gabarito: letra A